1/n+1/(n+1)+…+1/2n=1-1/2+1/3-1/4…+1/(2n-1)-1/(2n)

Question

1/n+1/(n+1)+…+1/2n=1-1/2+1/3-1/4…+1/(2n-1)-1/(2n) 怎么变换的

Answer 1

用数学归纳法比较简单！
解析：
⑴当n＝1时，等式左端＝1/2＝右端，显然成立！
⑵假设当n＝k时，原式成立，即
1－1/2＋1/3－1/4＋…＋1/(2k－1)－1/2k＝1/(k＋1)＋1/(k＋2)＋…＋1/2k.①
那么当n＝k＋1时，就是要证明：
1－1/2＋1/3－1/4＋…＋1/(2k－1)－1/2k＋1/(2k＋1)－1/(2k＋2)＝1/(k＋2)＋1/(k＋3)＋…＋1/2k＋1/(2k＋1)＋1/(2k＋2)②
将①式带入②式，就得
1/(k＋1)＋1/(2k＋1)－1/(2k＋2)＝1/(2k＋1)＋1/(2k＋2)
对上式左端通分得
左端＝1/(2k＋1)＋1/(2k＋2)＝右端！
这也就是说原结论成立！
证毕！
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