5-子群，记成H，它是G的正规子群。因为5是质数，所以H同构于Z/5Z。那么G中其余的元素都以共轭的方式作用在H上。从H=Z/5Z到自身的群同构有多少个（这里记得Z/5Z是那个加法群，请忘掉Z/5Z里的乘法）？一共4个，它们都把0映成0，并且分别把1映成1，2，3，4。把1映成1的那个同态记成a_1，把1映成2的那个记成a_2，类似有a_3和a_4。这里，比如说a_3，它把1映成3，然后又是Z/5Z到Z/5Z的群同态，所以a_3就把Z/5Z里的所有元素都乘3。那么(a_2)^2就把1映成4（先成1变成2，再乘2变成4），所以(a_2)^2
=
a_4；类似(a_3)^2=a_4，(a_4)^2=a_1=id，其中id是Z/5Z到Z/5Z的恒同映射。由a_1=id，a_2，a_3和a_4组成的这个群记成Aut(H)，它是H到H的所有自同构所组成的群，这里H是Z/5Z，而按上文所证，Aut(H)同构于Z/4Z（以a_2或者a_3为生成元）。现在看G（就是这个20阶群）的一个Sylow
2-子群，记成P，它是4阶的（按Sylow定理，G的这样的子群可能有1个，也可能有5个，不过无所谓）。P在H上有一个共轭作用（因为H是G的正规子群），P中一个元素p把H中一个元素h映成ph
p^(-1)。把h映成ph
p^(-1)，这是从H到H的一个群同构（证明它是可逆的群同态），也就是Aut(H)里的一个元素，这个元素是由p决定的。这给出了从P到Aut(H)的一个群同态，这个群同态的核是1，因为A_5中的5阶元与任何非5阶元都不交换（试证之，并证明由此可以推出上面那个群同态的核是1）。现在P和Aut(H)都是4阶的，因此P和Aut(H)同构。上文已证Aut(H)就是Z/4Z，所以P也和Z/4Z同构，于是P必须有4阶元。但是A_5中尚且没有4阶元（S_5中有，但那不是偶置换），因此矛盾。
设G是群,o是G到G上的同态映射,核为N,若H是G的子群,那么o1(o(H))=?
假设G是A_5的子群。如果|G|=15，那么Sylow定理可以推出G是循环群（这个比|G|=20的情况简单，我就不细说了），但A_5中没有15阶元，矛盾。如果|G|=20，那么G有唯一的Sylow 5-子群，记成H，它是G的正规子群。因为5是质数，所以H同构于Z\/5Z。那么G中其余的元素都以共轭的方式作用在H上。从...
设G是群,o是G到G上的同态映射,核为N,若H是G的子群,那么o1(o(H))=?
假设G是A_5的子群。如果|G|=15，那么Sylow定理可以推出G是循环群（这个比|G|=20的情况简单，我就不细说了），但A_5中没有15阶元，矛盾。如果|G|=20，那么G有唯一的Sylow 5-子群，记成H，它是G的正规子群。因为5是质数，所以H同构于Z\/5Z。那么G中其余的元素都以共轭的方式作用在H上。从...
抽象代数学习笔记(六)
设 G 为群，N 为 G 的正规子群，则存在群同构 G\/N ≅ Im(f)，其中 f: G → H 是任一以 N 为核的同态。证明：通过构造映射 φ: G\/N → Im(f)，我们满足以下条件：定义 φ([g]) = f(g)，其中 [g] 是 G\/N 中的元素。证明 φ 为满射和单射。利用同态基本定理，我们可...
近世代数理论基础14:同构定理
1.2.3.4.证明：定理：设 是满同态,记 ,定义两个集合 , ,则 1.存在一一映射(双射)2.若 且 ,则 ,且 证明：注：第一同构定理的常用形式：若取 ,且 ,则 定理：设G是群,H,K是G的子群,且 ,则 1.2.3.4.证明：例：1.设 为正整数,决定群 的所有子群 2.设 为...
读书笔记:群、子群、陪集(下)
正则投影（canonical projection）是群G到其正规子群N的同态映射，它将元素映射为左陪集G\/N，是群上的重要概念。群上的同态映射的核是正规子群，这导致了性质2.11，即同构映射的定义与商群的结构相关。直积（direct product）是通过笛卡尔积定义群的一种方法，对于交换律群的子群，当它们的交集是{0}时...
西罗西罗定理
西罗第一定理指出：在有限群G中，对于0<k≤n，G必定存在一个阶为p^k的子群。这意味着，不论我们选择k为n的任何非负整数小于n，总能找到一个满足条件的子群。西罗第二定理表明：如果H是G的p-子群（即H中所有元素的阶都为p的幂），而P是G的任意一个Sylow p-子群（即P是G的一个p^n阶子群...
子群的研究方法有什么?
正规子群和商群：正规子群是一种特殊的子群，它在群的运算下具有较好的性质。商群则是由群G和其正规子群N构造出的新群，其元素是N的左陪集或右陪集，运算定义为陪集的乘法。通过研究商群，我们可以更好地了解原群的结构。同态和同构：群同态是一种特殊的映射，它将一个群的元素映射到另一个群的元素...
设f是群G1到G2的同态映射,H是G1的子群,证明f(H)是G2的子群.
【答案】：因为H非空，因此f(H)非空．任取x，y∈f(H)，存在a，b∈H使得f(a)=x，f(b)=y．由于H是子群，ab-1∈H，于是xy-1=f(a)f(b)-1=f(ab-1)∈f(H)根据子群判定定理，f(H)是G2的子群．
群论学习(24):群作用(1)
这个例子中，作用是通过群元素对集合元素进行共轭操作。左陪集作用: 例如，若 H 是 G 的子群，取 S 为所有左陪集的集合，映射是陪集间的变换。通过群的性质，陪集在商群 G\/H 中保持封闭。定理揭示了群作用与同态之间的联系：存在群 G 在集合 S 上的作用当且仅当存在一个从 G 到 S 的群同态...
抽象代数|笔记整理(2)——同构,划分,陪集
Definition: group isomorphism 设群 G 和 H，映射 f：G → H 满足：(1) f 是一个双射(bijection)(2) f 满足群同态条件如果找到了这样的映射，则称 G 和 H 是同构的，用符号表示为 G ≅ H。更进一步，如果映射是自映射，则称为群的自同构(automorphism)。同构在代数结构中极为重要...
