矩阵可逆的条件

Answer 1

矩阵可逆的条件是AB=BA=E。

1、矩阵可逆是指一个矩阵拥有对应逆矩阵的情况。在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E或AB=E、BA=E任满足一个，其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的。

2、若方阵的逆阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵，矩阵可逆的充分必要条件，AB=E，A为满秩矩阵即rA=n，A的特征值全不为0，A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵即行列式为0的矩阵。

A等价于n阶单位矩阵，A可表示成初等矩阵的乘积，齐次线性方程组AX=0仅有零解，非齐次线性方程组AX=b有唯一解，A的行列向量组线性无关。

3、在定义的时候并不知道AB=E就意味着BA=E，也就是说矩阵的乘法运算一般不具有交换性，因此AB和BA不一定相等。所以在定义逆矩阵的时候就要求AB和BA都是E才行，结果证明了如果AB=E，则必有BA=E。

矩阵可逆的五个充要条件包括：

1、行列式不等于0。如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵不可逆。

2、矩阵的秩等于其行数或列数。如果矩阵的秩小于其行数或列数，则该矩阵不可逆。

3、矩阵的列向量（或行向量）线性无关。如果矩阵的列向量（或行向量）线性相关，则该矩阵不可逆。

4、矩阵的列向量（或行向量）可以线性表示出单位矩阵的列向量（或行向量），即存在一个矩阵B使得AB=BA=I。如果矩阵的列向量（或行向量）无法表示出单位矩阵的列向量（或行向量），则该矩阵不可逆。

5、矩阵的逆矩阵存在。如果一个矩阵的逆矩阵存在，则该矩阵可逆；而如果矩阵的逆矩阵不存在，则该矩阵不可逆。