函数的导数与导数的导数有什么区别与联系?

Answer 1

1、定义不一样。导数的定义：当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。即指一点的导数。
2、左导数的定义：函数f(x)在某点x0的某一左半邻域（x0-d,x0）内有定义，当△x从左侧无限趋近于0时，( f(x0 + △x) - f(x0))/ △x的左极限存在，那么就称函数f(x)在x0点有左导数，该极限值就是左导数的值。即指改点领近区域左边的导数。
3、右导数的定义：函数f(x)在某点x0的某一右半邻域（x0-d,x0）内有定义，当△x从右侧无限趋近于0时，( f(x0 + △x) - f(x0))/ △x的右极限存在，那么就称函数f(x)在x0点有右导数，该极限值就是右导数的值。即指改点邻近区域右边的导数。
4、联系：一点的左导数和右导数是无关联的。就好比折线上角点，左右的线段可以独立变化斜率。当左导数等于右导数，并且函数还在该点连续的时候，说明函数在该点可导。此时导数值就等于左导数或者右导数的值。
5、如果函数是连续的函数，那么就直接求导即可，如果左右不连续，那么就使用导数的定义式子，左导数是=lim(x趋于x0-) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)；右导数是=lim(x趋于x0+) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)。
6、导数与函数的性质：1、单调性（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。2、凹凸性可导函数凯凳的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向盯渗旅下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。