已知函数f(x)=1/ 3x＾3- a+4/2x＾2+4ax. (1)若a=2，求曲线y=f(x)

Question

已知函数f(x)=1/ 3x＾3- a+4/2x＾2+4ax.
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性.

Answer 1

将a=2代入函数f(x)得到：
f(x) = 1/3x^3 - 2 + 2x^2 + 8x
求导数得到：
f'(x) = x^2 + 4x + 8
将x=1代入得到切线斜率：
k = f'(1) = 1^2 + 4(1) + 8 = 13
曲线在点(1, f(1))处的切线方程为：
y - f(1) = k(x - 1)
将k和f(1)代入得到：
y - [1/3(1)^3 - 2 + 2(1)^2 + 8(1)] = 13(x - 1)
化简得到：
y = 13x - 14
因此，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=13x-14。

Answer 2

f(x) = (1/3)x＾3- [(a+4)/2]x＾2+4ax
(1) 若 a = 2, f(x) = (1/3)x＾3- 3x＾2+8x, f(1) = 16/3 ;
f'(x) = x＾2 - 6x + 8, 切线斜率 k = f'(1) = 3
切线方程 y = 3(x-1)+ 16/3.
(2) f(x) = (1/3)x＾3- [(a+4)/2]x＾2+4ax
f'(x) = x＾2 - (a+4)x + 4a = [x-(a+4)/2]＾2 - (a+4)x + 4a
函数单调减少区间 （-∞，2 + a/2）， 函数单调减少区间 （2 + a/2，+∞）。