函数极限和连续性有什么关系

Question

连续是否一定有极限
有极限是否一定连续等

Answer 1

有极限不一定连续，但是连续一定有极限。一个函数连续必须有两个条件：一是在此处有定义，二是在此区间内要有极限。因此，也可以说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。

在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

扩展资料：

反函数连续性的证明：

如果函数f在其定义域D上严格单调且连续，那么其反函数f-1也在其定义域f(D)（即f的值域）上严格单调且连续。

证明：严格单调函数必定有严格单调反函数，并且单调性相同（证法参考反函数词条），因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。

设f是定义在D上的严格单增的函数（严格单减同理）。作辅助函数g(x)=x，显然g(x)的反函数就是它本身。由于g(x)在R上是连续的，因此它在D上也是连续的。

若D是开区间，设x0是D上任意一点，由g(x)的连续性可知，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。

于是可取区间(x0-δ,x0+δ)上满足x1<x0<x2的两点（前提是x1、x2落在D内），根据f的连续性可知开区间(x1,x2)内的所有x（包括x0）都满足|x-x0|<ε。

设y1、y2、y0是x1、x2、x0对应的值，由f的单调性可知y1<y0<y2。

不妨设δ’=min{y0-y1,y2-y0}=y0-y1，（等于y2-y0同理），则当|y-y0|<δ‘，即y0-δ’=y1<y<y0+δ‘<y2时，有x1<x<x2。

根据上述分析，当x1<x<x2时，就有|x-x0|<ε。即对任意ε>0，存在δ’，当|y-y0|<δ‘时，|x-x0|<ε。这就证明了f-1在y0处连续。由于x0是任意的，因此y0也是任意的，因此f-1在f(D)上连续。

参考资料来源：百度百科-函数极限

参考资料来源：百度百科-连续函数

Answer 2

有极限不一定连续，但是连续一定有极限。 

一个函数连续必须有两个条件：一个是在此处有定义，另外一个是在此区间内要有极限。 因此说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。

函数在某点存在极限，只要左右极限存在且相等，而与该点是否有定义无关。函数在某点连续，则要求左右极限存在且相等，且都等于该点的函数值。换言之，该点必须有定义，且函数值等于左右极限值。

扩展资料

函数极限与联系思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。连续函数的复合函数是连续的。这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

参考资料来源：百度百科-连续函数

Answer 3

有极限不一定连续，但是连续一定有极限。
一个函数连续必须有两个条件：一个是在此处有定义，另外一个是在此区间内要有极限。
因此说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。

Answer 4

连续推出有界 有界就有极限 有极限不一定连续 可能有断点

Answer 5

（1）函数连续，在任意【指定点】一定有极限。
（2）函数在某点有极限，但不一定连续