证明：若G是一个无中心群，则其自同构群Aut G也是一个无中心群．

Question

A.

Answer 1

【答案】：任取τ∈Aut G但τ不是恒等自同构则有a∈G使 τ(a)=b≠a如果τ属于Aut G的中心则τ必与群G的每个自同构可换．从而与G的内自同构σ_a可换： τσ_a=σ_aτ于是对任意x∈G令x=τ(y)则有 τσ_a(y)=σ_aτ(y)或τ(aya^-1)=σ_ii(x)τ(a)τ(y)τ(a)^-1=axa^-1 bxb^-1=axa^-1(a^-1b)x=x(a^-1b)即a^-1b是G的中心元素．但G是无中心群故 a^-1b=e b=a矛盾．因此Aut G也是无中心群．
任取τ∈AutG,但τ不是恒等自同构,则有a∈G使τ(a)=b≠a,如果τ属于AutG的中心,则τ必与群G的每个自同构可换．从而与G的内自同构σa可换：τσa=σaτ于是对任意x∈G,令x=τ(y),则有τσa(y)=σaτ(y)或τ(aya-1)=σii(x),τ(a)τ(y)τ(a)-1=axa-1,bxb-1=axa-1,(a-1b)x=x(a-1b),即a-1b是G的中心元素．但G是无中心群,故a-1b=e,b=a,矛盾．因此,AutG也是无中心群．