在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中E是棱CC1中点f是侧面BCC1B1...

Question

在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中E是棱CC1中点f是侧面BCC1B1内的动点,且AF平行于平面D1AE 则点F在侧面BCC1B1内的轨迹长为（　　）

Answer 1

设平面AD1E与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接AM、MN、AN,则∵A1M∥D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE,∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE,由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F⊂平面A1MN,即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察,可得当F与M（或N）重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1,此时所成角θ达到最小值,满足tanθ=A1B1
B1M
=2；当F与MN中点重合时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,满足tanθ=A1B1
2
2
B1M
=22
,∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2,22
]故答案为：[2,22
]．