高一数学基本不等式。

Question

1。设a、b、c是互不相等的正数，且abc=1，求证：
1/a+1/b+1/c＞根号a+根号b+根号c

2。已知a+b=1，求证a²+b²≥1/2

3。已知k为实数，(1)求证方程x²+2(k+3)x+2k+4=0恒有两个不相等的实数根；(2)当k为何值时，方程的两根中有一个大于3，另一个小于3。

4。(1)已知x＜5/4，求4x-2+1/(4x-5)的最大值；
(2)已知x＞0，y＞0，且1/x+9/y=1,求x+y的最小值。

Answer 1

2。已知a+b=1，求证a²+b²≥1/2
解：a+b≥2根号下ab,iffa=b=1/2取等
即：ab<[(a+b)/2]^2=1/4
a²+b²=(a+b)^2-2ab≥1-2*1/4=1/2
即：a²+b²≥1/2 iffa=b=1/2时取等

3。x²+2(k+3)x+2k+4=0
[2(k+3)]^2-4(2k+4)=4(k^2+4k+5)=4（k+2）^2+4恒大于0，
所以：恒有两个不相等的实数根

4(1)因为x＜5/4，所以4x-5<0所以-（4x-5）>0
4x-2+1/(4x-5)=-[-4x+2-1/(4x-5）]=-[5-4x-3+1/(5-4x）]
5-4x-3+1/(5-4x）≥-1 ,
即原式<=1

Answer 2

我只会做第二题
把b=1-a带入a²+b²即可得

Answer 3

2: 2(a平方+b平方) >= (a+b)的平方=1
所以 a平方+b平方>=1/2