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Question

四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形,SA垂直平面ABCD，EFG分别是SB,SC,SD上的点，SC垂直平面AEFG，求证：（1）AE垂直SB（2）GE垂直平面SAC
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Answer 1

∵∴⊥‖‖⊿△∽≌→∠°∟⌒⊙⊕ ½ ‰º¹²³^2√|a|`ˉ

（1）∵SA⊥面ABCD

∴SA⊥AB, SA⊥AD ,SA⊥AC

∴Rt△SAD≌Rt△SAB SD=SB

∵SC⊥面AEFG

∴SC⊥AF,          SC⊥EF 

∴Rt△SAF∽Rt△SAC,Rt△SFE∽Rt△SBC

   SA/SF=SC/SA,     SE/SC=SF/SB

   SA²=SF*SC,       SE*SB=SF*SC

∴SA²=SE*SB

 ∴△SAE∽Rt△SBA ,∠SEA=∠SAB=90°,得证。

（2）连接DB

由（1）结论得△SAE、△SAG 为Rt△

ASA →Rt△SAE≌Rt△SAG SE=SG

∵SB=SD

∴GE‖DB

∵ABCD为正方形，DB⊥AC

∴GE⊥AC   ---(1)

∵SC⊥面AEFG

∴GE⊥SC  ----(2)

结合（1、2）得 GE⊥面SAC，得证。