在概率论中，为什么（n－1）S^2/ó^2是自由度为n－1的卡方分布？要详细证明

Question

∑(xi-u)^2/σ^2 ∽ 自由度为n的卡方分布
S^2 =1/(n-1)*∑(xi-x均值)^2

继续怎么证？
我看到网上的证明里有个σ2=1/n*∑(xi-u)^2
这是什么公式？

Answer 1

u不由X1~Xn样本决定，所以n个平方和互相之间都是自由的
如果是 X1-X均值就不一样了，因为X均值由X1~Xn得来，所以其实 X1...Xn-1 X均值 对於这个统计量已经是足够多的变量了，剔除Xi样本里任何一个都行。就比如 二项分布你知道一个成功概率，就不用给失败概率，道理一样。

(n-1)S²是 n-1个 N(0,o²)的平方和

σ2=1/n*∑(xi-u)^2 这是用u作为中等标准，作总体方差时得的

追问

σ2=1/n*∑(xi-u)^2 这个公式的依据是什么？详细说说。。。。比如按照哪条定理哪个公式等

追答

因为这里u和X样本不互相干涉所以自由度是n啊
而X均值是X样本得来的，所以自由度降1，根据维度原理很容易得出来，

要说公式名堂就是总体方差公式啊

追问

大学概率课本没有这个公式，百度了总体的方差公式是1/n*∑(xi-x均值)^2
额。。。完全不懂

追答

概率论还是理解比较重要,只死学确实很难

我想想怎么给你解释,现在

没有的公式可以有无穷多,可推的成立等式千变万化,所谓没有不代表推不出来

如果你非要找一个台面上的公式,我也比较蛋疼的,我都从来不背公式只理解用法。你让我想想

而且各地用的教材版本都不一样,notation有差别的也多了。

σ2=1/n*∑(xi-u)^2
这样好了
方差就是,n个独立样本和总体均值u的差异的平方和,再取均值,这应该可以算公理

∑(xi-u)^2
每个xi-u 之间都是相互独立的,所以根据卡方定义自然是卡方n

(Xi-X均值)^2
=(nXi-X1-X2-..Xn)^2
=((X1-Xi)+...(Xi-Xi)这消了+.. (Xn-Xi))^2
这就是其差异所在

外面除一个 n^2

最后合一起的时候少一个独立的卡方

这个除以n-1 的期望
等于
刚才那个-u的 除以n 的期望

或者这样
你前面(X1-X均)^2+... (Xn-1 -X均)^2以后

则必有
Xn=nX均 -X1...-Xn-1
(Xn-X均)
=((n-1)X均-(X1+...Xn-1))^2
=(X均-X1)^2+... (X均-Xn-1)^2 -2求和{(Xi-X均)(Xj-X均) (i, j不等属于1~n-1) }

最终只有n-1个独立的正太分布平方和

Answer 2

想一下，n=1时，x1^2=0(卡方分布公式)
因此少了一项，后面仅剩下n-1项