数据分析之数据分布

Answer 1

概率分布用以表达随机变量取值的概率规律，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式，主要分为 离散变量概率分布 和 连续变量概率分布 。

离散型分布 ：二项分布、多项分布、伯努利分布、泊松分布。
连续型分布 ：均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、偏态分布、贝塔分布、威布尔分布、卡方分布、F分布。

连续型随机变量 ：若随机变量X的分布函数F(X)可以表示为一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续型随机变量，f(x)称为x的概率密度函数，积分值为X的数学期望

一、离散型分布
（一）伯努利分布
伯努利分布只有两种可能的结果，1-成功和0-失败，具有伯努利分布特征的随机变量X可以取值为1的概率为p，取值为0的概率1-p，其中成功和失败的概率不一定相等。
来自伯努利分布的随机变量X的期望值为：E(X)=1 p+0 (1-p)=p
方差为：V(X)=E(X²)–[E(X)]² =p–p²

（二）二项分布
如果做n次伯努利试验，每次结果只有0，1两种结果，如果n=1的话显然是伯努利分布。二项分布的每一次尝试都是独立的，前一次投掷的结果不能决定或影响当前投掷的结果，只有两个可能结果并且重复n次的实验叫做二项式。二项分布的参数是n和p，其中n是试验的总数，p是每次试验成功的概率。n次独立重复事件发生k次的概率为：

（三）多项分布
多项分布是二项分布的推广扩展，在n次独立实验中每次只输出k种结果中的一个，且每种结果都有一个确定概率，多项分布给出在多种输出状态的情况下，关于成功次数的各种组合的概率。

举例投掷n次骰子，这个骰子共有6种结果输出，且1点出现概率为p1，2点出现概率p2，…多项分布给出了在n次试验中，骰子1点出现x1次，2点出现x2次,3点出现x3次，…，6点出现x6次。这个结果组合的概率公式为：

（四）泊松分布
大量事件是有固定频率的。特点：可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间和发生地点。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

泊松分布是个计数过程，通常用于模拟一个 非连续事件 在 连续时间 中的发生次数。
主要特点：
1.任何一个成功事件不能影响其它的成功事件(N(t+s)-N(t)增量之间互相独立)；
2.经过短时间间隔的成功概率必须等于经过长时间间隔的成功概率；
3.时间间隔趋向于无穷小的时候，一个时间间隔内的成功概率趋近零；

泊松分布即描述某段时间内，事件具体的发生频率。
泊松分布的概率分布函数公式如下所示：

二、连续型分布
（一）均匀分布
均匀分布所有可能结果n个数的发生概率是相等的，均匀分布变量X的概率密度函数([概率密度函数]概念是针对连续分布的，求积分即发生概率)为：

（二）正态分布
正态分布的特征：1.分布的平均值、中位数和众数一致；2.分布曲线是钟形的，关于线x=μ对称；3.曲线下的总面积为1；4.两个正态分布之积仍为正态分布；5.两个独立且服从正态分布的随机变量的和服从正态分布。
若随机变量X服从位置参数μ,尺度参数sigma^2 的概率分布N(μ,sigma^2)，且其概率密度函数为：

看作是随机变量X实际可能的取值区间(3sigma法则)。

（三）指数分布
指数分布是独立事件发生的时间间隔。例如婴儿出生的时间间隔、来电的时间间隔、奶粉销售的时间间隔、网站访问的时间间隔

（四）伽玛分布
Gamma分布即多个独立且相同分布的指数分布变量和的分布，即从头开始到第n次事件的发生时间。

（五）共轭先验分布
共轭是选取一个函数作为似然函数的先验概率分布，使得后验分布函数和先验分布函数形式一致(Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布，而狄利克雷分布(Dirichlet分布）是多项式分布的共轭先验概率分布)。

贝叶斯规则 ：后验分布=似然函数*先验概率分布

（六）贝塔分布
贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布也称Β分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。当不知道某个具体事件的发生概率时，贝塔分布可以给出所有概率出现的可能性大小。
例如 α=0.99，β=0.5，贝塔分布B(α,β)如下图所示：

（七）卡方分布

三、分布之间的关系
（一）伯努利分布和二项分布的关系：
1.伯努利分布是二项分布的单次试验的特例，即单次二项分布试验；
2.二项分布和伯努利分布的每次试验都只有两个可能的结果；
3.二项分布每次试验都是互相独立的，每一次试验都可以看作一个伯努利分布。

（二）泊松分布和二项分布的关系：
以下条件下，泊松分布是二项分布的极限形式：
1.试验次数非常大或者趋近无穷，即n→∞；
2.每次试验的成功概率相同且趋近零，即p→0；
3.np=λ是有限值。

（三）正态分布和二项分布的关系&正态分布和泊松分布的关系：
以下条件下，正态分布是二项分布的一种极限形式：
1.试验次数非常大或者趋近无穷，即n→∞；
2.p和q都不是无穷小

当参数λ→∞的时候，正态分布是泊松分布的极限形式。

（四）指数分布和泊松分布的关系：
如果随机事件的时间间隔服从参数为λ的指数分布，那么在时间周期t内事件发生的总次数服从泊松分布，相应的参数为λt。