向量叉乘（外积）及推导

Answer 1

在空间中，若存在两个向量：[公式]，[公式]，它们之间的夹角为[公式]。

从代数角度进行计算，其结果为[公式]。

而从几何角度来计算，([公式]表示[公式]与[公式]所构成平面的单位向量)，结果为[公式]。

运算结果是一个向量，且与这两个向量都垂直，是这两个向量所在平面的法线向量。方向通过右手定则确定。

几何意义方面：若以向量[公式]和[公式]为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

行列式形式为[公式]，矩阵形式为[公式]。

推导过程如下：假设a和b在xy平面内，因此[公式]，证明[公式]是平行四边形oapb的面积。

证明：[公式]是包括蓝色矩形的大矩形面积，[公式]是中间小矩形的面积，所以[公式]就剩下[公式]。

而平行四边形面积等于：2倍oaq面积加2倍obq面积再加蓝色矩形面积。因为aq为1三角形的底等于[公式]，[公式]三角形的高；bq为2三角形的底等于[公式]，[公式]为三角形的高。

所以[公式]是平行四边形oapb的面积。

如果，a和b不在xy平面内，oapb将在三个平面内产生投影（图像比较复杂就不画了），而投影面积同上证明可知分别为：yz面投影面积为[公式]，xz面投影面积为[公式]，xy面投影面积为[公式]。

设oapb面积为S，则[公式]，[公式]，[公式]。[公式]分别是相应S的投影夹角。

由S的法向量[公式]垂直S可知，[公式]与x轴的夹角与S与yz面的夹角相等为[公式]，同理，[公式]与y轴的夹角[公式]，[公式]与z轴的夹角[公式]。

所以[公式]

若法向量模长为S，则[公式]

证毕。