设连续函数{fn(x)}在【a,b】上一致连续于f(x),而g(x)在(－∞，+∞)连续。证明{g

Question

设连续函数{fn(x)}在【a,b】上一致连续于f(x),而g(x)在(－∞，+∞)连续。证明{g(fn(x))}在【a,b】上一致收敛于g{f(x)}

Answer 1

函数列{fn(x)}在[a,b]上连续，一致收敛到f(x)，由一致收敛性质，f(x)在[a,b]上连续；
闭区间上的连续函数有界，那么存在A>0，使得 |f(x)|<A ，x∈[a,b] ；
函数列fn(x)收敛到f(x)，那么当n足够大，有 |fn(x)|<A ，x∈[a,b] ；
g(x)在实数域上连续，那么自然g(x)在[-A,A]上连续；
闭区间上的连续函数一致连续，所以g(x)在[-A,A]上一致连续；
由g(x)的一致连续性，任取e>0，存在d>0，对[-A,A]上的x1及x2，
使得当|x1-x2|<d ，有 |g(x1)-g(x2)|<e ；
而fn(x)在[a,b]上一致收敛的，
对于d>0，存在N>0，使得当n>N时，
|fn(x)-f(x)|<d
对所有的[a,b]上的x都成立，且fn(x)与f(x)在范围[-A,A]内；
那么 |g(fn(x))-g(f(x))|<e ，对a<=x<=b都成立；
所以函数列{g(fn(x))}在[a,b]上一致收敛于g(f(x)) 。

Answer 2

题目出错了，比如令a=0，b=1
f(x)=x
g(x)=x+1
显然这两条直线没有交点的
题目应该是
设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)
g(b)。证明：在（a，b）内曲线y=f（x）与y=g（x）至少有一个交点。
这样证明如下：
证明：设t(x)=f(x)-g(x)
首先，由f(x),g(x)在区间[a,b]上连续=>t(x)在区间[a,b]上连续
又t(a)=f(a)-g(a)<0
t(b)=f(b)-g(b)>0
故存在m在（a，b）满足t(m)=0
即f(m)-g(m)=0
=>在（a，b）内曲线y=f（x）与y=g（x）有一个交点(m,f(m))