设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为A

Question

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交X轴负半轴于点Q，且F1是QF2的中点
过右焦点F2 作斜率为K的直线L于椭圆相交于MN两点，在X轴上是否有点P（m,0）使得以PMPN为邻边的平行四边形为菱形，如果存在求出m的取值范围
a=2 c=1

Answer 1

首先先化简椭圆的方程.
因为F2(c,0),A(0,b).所以直线AF2的斜率kAF2=-b/c.
所以过点A与AF2垂直的直线的方程为y-b=(c/b)x.
所以Q(-b²/c,0).
因为F1是QF2的中点,所以c-(b²/c)=-2c.
即3c²=b²=a²-c²可得a²=4c².
因此椭圆方程可化为3x²+4y²=12c².
接下来求解m的取值范围.
由题意可知直线L的方程为y=k(x-c).其中k≠0.
设M(x1,y1),N(x2,y2).MN中点为B(x0,y0).
联立椭圆C与直线L的方程可得3x²+4k²(x²+c²-2cx)=12c².
整理得x²(4k²+3)-8k²cx+4c²(k²-3)=0
由韦达定理得x1+x2=8k²c/4k²+3,
所以x0=4k²c/4k²+3,而2y0=y1+y2=k(x1+x2)-2kc=-6kc/4k²+3..
所以y0=-3kc/4k²+3.
因此B(4k²c/4k²+3,-3kc/4k²+3).
要使PMPN为邻边的平行四边形为菱形,只需P在直线MN的中垂线上.
因此有3kc/4k²+3=-1/k[m-(4k²c/4k²+3)]=-m/k+4kc/4k²+3
即m/k=kc/4k²+3
所以m=k²c/4k²+3=c/[4+(3/k²)].-----①
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请楼主检验自己有无抄漏条件,因为如果c无法求出,从①式根本不可能求得具体范围.
我没打草稿纸,都是用脑子算,然后一步一步打下来的.

追问

a=2 c=1

追答

那就可解了,将c代入①式可得m=1/[4+(3/k²)]∈(0,1/4).
所以m的取值范围是(0,1/4).