一个线性代数题，请问，为什么说齐次线性方程组只有零解，就线性无关，有很多解，则线性相关，最好可以

Question

举例说明，谢谢

Answer 1

因为如果齐次方程组只有零解，说明r(A)=n（其中r（A）为矩阵A的秩），对应的非齐次方程组有如下两种情况：

1、当r(A)=r(A，b)=n时，说明非齐次方程组有解，且是唯一的。

2、当r(b)不等于r(A，b)时，非齐次方程组无解。

非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

1、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

2、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

简介：

线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。

“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。

如果进入科研领域，你就会发现，只要不是线性的东西，我们基本都不会！线性是人类少数可以研究得非常透彻的数学基础性框架。学好线性代数，你就掌握了绝大多数可解问题的钥匙。有了这把钥匙，再加上相应的知识补充，你就可以求解相应的问题。

Answer 2

前半段对，后半段不对
证明很简单，矩阵A乘以x，就相当于把矩阵的列向量乘以x各个分量后求和
A=(a1,a2,...,an), x=(x1,x2,...,xn)T
Ax= a1 x1 + a2x2 +...+anxn
如果Ax=0只有0解，这就是向量组(a1,a2,...,an)线性无关的定义，你查一下定义就可以看出完全满足

后半段不对是因为如果A的行数小于n时，Ax=0肯定有很多解，但是A的列向量依然线性相关

Answer 3

一组向量 x1,x2,x3,.xn,若存在一组不全为零的数 k1,k2,k3,.kn,使
k1x1+k2x2+k3x3+.+knxn=0
成立,称这组向量线性相关,否则称这组向量线性无关.
也就是说若使 k1x1+k2x2+k3x3+.+knxn=0,则只有k1=k2=k3=.=kn=0成立.那么这组向量线性无关.

Answer 4

简单分析一下即可，详情如图所示