(n-1)/n^2求和

Question

求证ln2/2*2+……lnn/n^2<(2n^2-n-1)/4n+4
我的解法：由ln(x+1)≤x得（n-1)/n^2
后面就证不下去了，求高手指教
n≥2,n为整数

Answer 1

显然是对ln(n/n^2)=ln(1/n)作为数列，就和。
于是左边=ln(1/2)+ln(1/3)+ln(1/4)+....+ln(1/n)。可知昨天每一个加数都是负数，所以和< 0
右边= (2n^2-n-1)/(4n+4),显然分母>0.分子当n>=2时，显然大于 0.
所以结论成了。

追问

不是ln(n/n^2)，是(lnn)/n^2

Answer 2

利用 lnx < x
原式 < ∑ n / n^2 = ∑ 1/n < ∑ 1 = n
当 n >= 4的时候，显然(2n^2-n-1)/4n+4 >= n

所以n >= 4的时候，原不等式成立
当n=2和n=3的时候验证即可

追问

原式 < ∑ n / n^2 = ∑ 1/n < ∑ 1 = n 中的 ∑ 1 = n是什么意思啊，没懂

追答

1/n < 1
所以
∑ 1/n < ∑ 1

表示n个1求和

追问

当 n >= 4的时候
(2n^2-n-1)/4n+4 >= n不成立啊

追答

那稍微修改下也可以

(2n^2-n-1)/4n+4 > (n-2)/2

然后证明
∑ 1/n < (n-2)/2
这个归纳法很容易

∑ 1/n + 1/(n+1) < (n-2)/2 + 1/(n+1) < (n-1)/2显然成立

还有一种方法
lnn/n^2 < 1/n^(3/2)

然后利用
http://zhidao.baidu.com/question/568649850#answer-1433276730
这个结论，可以得到∑ lnn/n^2 < 3

Answer 3

这种“等差*等比”的类型，采用倍差法，倍数是等比部分的公比
s=1*3^0+2*3^1+3*3^2+……+n*3^(n-1)
3s=
1*3^1+2*3^2+……+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
两式相减，
-2s=1*3^0+（3^1+3^2+……+3^(n-1)）-n*3^n
=[1+3+9+……+3^(n-1)]-n*3^n
=(3^n-1)/2-n*3^n
=(1/2-
n)*3^n
-
1/2
s=(n/2-1/4)*3^n+1/4

Answer 4

我对你这题有点兴趣，应该是用导数证明。
不知道你等不等的急。

追问

还好，你尽快做吧

追答

Answer 5

数学归纳法

追问

具体点

追答

证明当n=1时式子成立
假设当n=k时式子成立（只用假设，不用证）
去证明当n=k+1时式子成立（八成要用到当n=k时式子成立后的一些结论）
一般都是不等式或等式左右一起整理，会整理出你想要的结论