定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为增函数,则()

Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为增函数,则() A．f(2)＜f(1)=f(3)B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1)D．f(1)=f(3)＜f(2)

Answer 1

f(x+1)=-f(x）说明f(x）＝f(x＋2），故f(1）＝f(1＋2）＝f(3).
f(x）是以2为周期的函数,f(x）是
偶函数
同时在区间[-1,0]上为
增函数
，由于偶函数关于Y
轴对称
，说明f(x）在（0
,1）上是
减函数
。故f(0＋2)=f(0)>f(1）
所以f(2）>f(1)＝f(3）选D

Answer 2

f(x)是定义在r上的偶函数，f(x)关于y轴对称
f(-x)=f(x)
又f(x+1)=-f(x)
f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x)
所以2为f(x)的一个周期
1）f(x)关于x=2对称，正确
2）f(x)在区间[-1,0]上为增函数,f(x)关于y轴对称,所以f（x）在[0,1]上是减函数
3）。2为f(x)的一个周期，f（x）在[-1,0]上是函数，所以f（x）在[1,2]是增函数
4）f(4)=f(2)=f(0)

Answer 3

选
D
首先，由偶函数性质，可以知道该函数在
x
∈[0,
1]
为单调递减函数，并且根据题目条件，f(0)
=
-f(1)
=
f(2)
=
-f(3)
=
……
根据f(1)
<
f(0)
=
f(2)
可知只能选
D