已知函数f(x)=x+2a2/x-alnx(a∈R) ①讨论f(x)的单调区间,②设g(x)=x2-

Question

2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意x1,x2∈[1,e].f(x1)≧g(x2),求b的范围

Answer 1

1）、当a=0时 f（x）=x，此时f（x）在R上单调递增
当a不等于0时
先对f（x）求导

f'（x）=1-2a^2/x^2-a/x
设f'（x）=0则1-2a^2/x^2-a/x=0
整理得（x-2a）（x+a）=0
解得两个解： x=2a x=-a
当a＞0时 2a＞0， -a＜0
∵x的定义域为x＞0
∴当x=2a时 函数图象有最值
∴在区间（0,2a）为递减函数 在区间（2a，+∞）为递增函数
当a＜0时 2a＜0 -a＞0
∵x的定义域为x＞0
∴当x=-a时 函数图象有最值
∴在区间（0,-a）为递减函数 在区间（-a，+∞）为递增函数
2）当a=1，f（x）=x+2/x-lnx
∵ x1,x2∈[1,e]. f(x1)≧g(x2)

∴f（x）-g（x）≥0
设h（x）=f（x）-g（x）
当x=1时h（1）=2b-2+ln2>0
得b＞1-ln2/2
h‘（x）=1-2/x^2-1/x-2x+2b
设h‘（x）=0则1-2/x^2-1/x-2x+2b=0
整理得2x^3-(2b+1)x^2+x+2=0
∵x的定义域为x＞0
且要使h’（x）在区间[1,e]大于零，h（x）才是递增函数

整理综合得当b＞1-ln2/2时
成立