设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1,1,0)^T,α2=(2,1,1)^T

Question

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1,1,0)^T,α2=(2,1,1)^T,都是A属于特征值6的特征向量
1）求A的另一特征值，和对应的特征向量
2）求矩阵A
求具体过程

Answer 1

具体过程如下：

1）由于r(A)=2，故A的另一个特征值为0，且0对应的特征向量与α1和α2正交

故(α3,α1)=0,(α3,α1)=0

=>α3=(-1,1,1)

2）设A在V3中由标准集确定的线性变换为T

则T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)A

且知T(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B

其中，B=diag{6,6,0}

设C为由(ε1,ε2,ε3)到(α1,α2,α3)的过渡矩阵，则C=

1 2 -1

1 1 1

0 1 1

C^(-1)=0 1 -1

1/3 -1/3 2/3

-1/3 1/3 1/3

则有B=C^(-1)AC<=>A=CBC^(-1)=4 2 2

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

1、计算的特征多项式；

2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是、

另外，若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

Answer 2

3阶实对称矩阵A的秩为2, 所以0是A的特征值

且属于特征值0的特征向量与α1,α2正交

解齐次线性方程组

x1+x2=0

2x1+x2+x3=0

求出一个非零解,即属于特征值0的特征向量α3

令P=(α1,α2,α3)

则 P^-1AP=diag(6,6,0)

所以 A=Pdiag(6,6,0)P^-1

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν，其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

Answer 3

A的秩为2，|A|=0,所有λ1*λ2*λ3=0

λ3=0

设α3=(a1,a2,a3)^T

A为实对称矩阵，所有实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的

α1α3=0

α2α3=0

解得α3=(-1,1,1])^T

（2）

解得

Answer 4

楼主你好，这题属于很基本的高等代数的题，题目里已经说明了是实对称的矩阵，那样的话，特征值所对应的特征向量都是正交的，所以你只需要设出来，和已知的2个正交（就是内积为0） ，这样就可以求出来特征向量了，还有就是矩阵的行列式值等于它所对应的特征值的乘积，这样可以显然得到第三个特征值为0.
至于求矩阵A的过程，用 Aa（i）=λa（i）的关系式可以得出，再用矩阵的乘积形式写出来就是了
，最后就是一个矩阵的乘积和取逆过程了，很简单的，谢谢！！！