求解一道微观经济学问题

Question

证明对于CES生产函数，q=A[αK^(-ρ）+（1-α）L^(-ρ)]^(-1/ρ)而言，边际产量与平均产量以及边际技术替代率都是资本鱼劳动比率的函数。 还望有大神助力啊~~

Answer 1

你这个特殊的常弹性生产函数中的规模报酬因子r（q=A[αK^(-ρ）+（1-α）L^(-ρ)]^(-r/ρ)中p上面的参数就是这个因子）被赋值为1，就是说是规模报酬不变的（或者可以直接带入演算得F(nk,nl)=nF(k,l)），也就是所谓一阶齐次，因为一阶齐次函数也是位似函数，位似函数的定义也就是结论了。
因为有具体的函数形式，也可以放弃抽象证明，直接求出q对于K和L的一阶偏导数（你这里要求ρ>=-1且不等于0，但是因为有个蛋疼的负号会无谓的增加计算量，所以应该把-p都换成p，然后取值范围改为<=1且不为0）做了如上因子替换之后，
将q转化为e^（lnq）可得MPK=(q/k)Aα/[α+(1-α)(l/k)^ρ]，又因为q/k(也就是平均产品)将q带入可得明显只是l/k的函数，所以mpk也只是l/k的函数，同理可得q/l和mpl。既然mpk和mpl都得证，那么作为他们两个比值的mrts也就显然了。
希望能够对你有所帮助，另外建议你自己从头演算一遍。

Answer 2

唉 怎说呢。太复杂了。