α1、α2、α3不能由向量组 β1、 β2、 β3线性表示证明

Question

设向量组α1、α2、α3不能由向量组 β1、 β2、 β3线性表示，又知向量组α1、α2、α3线性无关，是否可以得出 β1、 β2、 β3线性相关。如何证明。
反过来是否成立？已知α1、α2、α3线性无关，β1、 β2、 β3线性相关，则向量组α1、α2、α3不能由向量组 β1、 β2、 β3线性表示，如何证明。
问题补充： 均为三维向量

Answer 1

设向量组α1、α2、α3不能由向量组 β1、 β2、 β3线性表示，又知向量组α1、α2、α3线性无关，是否可以得出 β1、 β2、 β3线性相关。如何证明。

不可以得出 β1、 β2、 β3线性相关
也有一种可能
6个向量都线性无关。
第二个问题是很明显的。

我觉得你的提问有问题。如果限定向量空间线性无关的向量有3个，那么第一个问题的就是正确的。

追问

我要证明~这两个结论都是正确的

Answer 2

第一题：
因为α123线性无关，所以他们的构成的向量空间充满整个三维空间，即三维空间中任意向量都可以由他们的线性组合表示。如果β123不能表示α123，则他们的线性组合不能表示空间中全部向量，即线性无关

第二题：
α123构成的向量空间充满整个三维空间，β123构成的向量空间无法充满整个三维空间，所以不能由β123表示

不明白可以再问我

追问

如果a1 a2 a3线性相关，a2,a3 a4线性相关，那么a1 a2 a3 a4什么关系？
若果a3不能由a1 a2线性表出（等价条件是什么？），a4不能由a2,a3线性表出，则a1与a2 a3 a4什么关系？