求几个有趣的数学知识

Question

有新意的

Answer 1

关于完全平方数有以下几个特点

完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方。例如，36是6×6，49是7×7。

从1开始的n个奇数的和是一个完全平方数，即1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝n^2;

每一个完全平方数的末位数都是0、1、4、5、6中的一个；

每一个完全平方数要么能被3整除，要么减去1能被3整除；

每一个完全平方数要末能被4整除，要末减去1能被4整除。

每一个完全平方数要末能被5整除，要末加上1或减去1能被5整除……

Answer 2

数学黑洞行不？
数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的
　　黑洞值：
　　设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，
　　例如：1234567890，
　　偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。
　　奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。
　　总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。
　　新数：将答案按 “偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。
　　重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。
　　重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。
　　结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。

取任意一个4位数（4个数字均为同一个数的除外），将该数的4个数字重新组合，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后你总是至达卡普雷卡尔黑洞6174，至达这个黑洞最多需要7个步骤。
　　例如：
　　大数：取这4个数字能构成的最大数，本例为：4321；
　　小数：取这4个数字能构成的最小数，本例为：1234；
　　差：求出大数与小数之差，本例为：4321-1234=3087；
　　重复：对新数3087按以上算法求得新数为：8730-0378=8352；
　　重复：对新数8352按以上算法求得新数为：8532-2358=6174；
　　结论：对任何只要不是4位数字全相同的4位数，按上述算法，不超过7次计算，最终结果都无法逃出6174黑洞；

除了0和1自然数中各位数字的立方之和与其本身相等的只有153、370、371和407（此四个数称为“水仙花数”）。例如为使153成为黑洞，我们开始时取任意一个可被3整除的正整数。分别将其各位数字的立方求出，将这些立方相加组成一个新数然后重复这个程序。
　　除了“水仙花数”外，同理还有四位的“玫瑰花数”（有：1634、8208、9474）、五位的“五角星数”（有54748、92727、93084），当数字个数大于五位时，这类数字就叫做“自幂数”。