微分方程y=xy'+f(y')，则函数y=cx+f(c)(c为任意常数)是该方程的-----------？答案是：通解。求解释

Answer 1

因为y=xy'+f(y')，两边对x求导
y‘=y’+xy‘’+f‘(y')y''
y''(x+f'(y'))=0，y''=0或者x+f'(y')=0
若y''=0，则y'=c（常数的导数为0）
把y'代入微分方程就得通解y=cx+f(c)
若x+f'(y')=0，f'(y')=-x，两边对y’积分得到f(y')=-xy‘+c
代入微分方程得到y=c，这是通解里的c=0时，y=f(0)，这一特解。
所以y=cx+f(c)方程的通解。

追问

若x+f'(y')=0，f'(y')=-x，两边对y’积分得到f(y')=-xy‘+c
代入微分方程得到y=c，为什么这个不是通解？

追答

这个只是一个特解啊，我说的很清楚的啊。
y=c，这是通解里的c=0时，y=f(0)，这一特解。

Answer 2

应该这样回答该问题:
1.y'=c,故y=cx+f(c)是微分方程y=xy'+f(y')的解;2.因c是任意常数,故y=cx+f(c)是微分方程y=xy'+f(y')的通解.

Answer 3

当然是通解。
通解的定义：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。