阅读下列材料：方程(1/x+1)-(1/x)=(1/x-2)-(1/x-3)的解为x=1; 方程(1/x)-(1/x-1)=(1/x-3-1/x-4的解为x=2

Question

方程(1/x)-(1/x-1)=(1/x-3)-(1/x-4)的解为x=2;
方程(1/x-1)-(1/x-2)=(1/x-4)-(1/x-5)的解为x=3 ;
问题是1.请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，
并求 出 这个方程的解；
2.根据1.中所得的结论，写出一个解为x=-5的分式方程。
括号里为分式分子都为1，请求详细解题思路。嘻嘻

Answer 1

解为5个连续整数的中间数
方程(1/x+3)-(1/x+4)=(1/x+6)-(1/x+7)的解为x=-5

追问

答案知道，请详解+分析

追答

方程(1/x+1)-(1/x)=(1/x-2)-(1/x-3)的解为x=1 -1, 0，（1），2，3
方程(1/x)-(1/x-1)=(1/x-3)-(1/x-4)的解为x=2; 0，1，（2），3, 4
方程(1/x-1)-(1/x-2)=(1/x-4)-(1/x-5)的解为x=3 ; 1, 2， （3），4, 5

方程(1/x+3)-(1/x+4)=(1/x+6)-(1/x+7)的解为x=-5 -3，-4，（-5），-6，-7

追问

根据什么算出来的要步骤

追答

这种题目是靠观察它的规律求解的。
对应x-【？】比较有
方程(1/x-【-1】)-(1/【x-0】)=(1/x-2)-(1/x-3)的解为x=1 -1, 0，（1），2，3
方程(1/【x-0】)-(1/x-1)=(1/x-3)-(1/x-4)的解为x=2; 0，1，（2），3, 4
方程(1/x-1)-(1/x-2)=(1/x-4)-(1/x-5)的解为x=3 ; 1, 2， （3），4, 5

追问

怎么看出来的规律？是化简？还是公式算出来的

追答

如果化简或公式计算
1.容易出错
2.至少要计算10分钟
化简
(1/x+3)+（1/x+7)=(1/x+4)+(1/x+6)
（2x+10）/(x+3)(x+7)=(2x+10)/.....
则 2x+10=0, x=-5

Answer 2

1,[1/x-(n-k)]-……-[1/x-(n-2)]-[1/x-(n-1)]=[1/x-(n+1)]-[1/x-(n+2)-……-[1/x-(n+k)]的解为x=n(条件为k<n)
2,方程(1/x+3)-(1/x+4)=(1/x+6)-(1/x+7)的解为x=-5

追问

答案知道，请详解+分析

Answer 3

(1) 1/(x-n) -1/(x-n-1)=1/(x-n-3)-1/(x-n-4) , 其解为x=n+2
(2) x=n+2= -5,得n= -7
故 1/(x+7) -1/(x+6)=1/(x+4) -1/(x+3)

追问

答案知道，请详解+分析

追答

这种题主要找规律
x=1时 分母对应的是 x+1,x-0, x-2, x-3
x=2时 分母对应的是 x-0 ,x-1, x-3, x-4
x=3时 分母对应的是 x-1 ,x-2, x-4, x-5
……
x=n+2时 分母对应的是 x-n,x-n-1, x-n-3, x-n-4
分母都是x-() 这括号里的都是一个等差数列
第一个是 -1,0,1,2……，n
第二个是 0,1,2,3……，n+1
第三个是 2,3,4,5……，n+3
第四个是 3,4,5,6……，n+4
解对应的是1,2,3,4……, n+2