MIT—线性代数笔记22 对角化和矩阵的幂

Answer 1

Diagonalization and powers of A

本讲主要介绍了如何对角化具有n个线性无关特征向量的矩阵，以及如何利用对角化简化计算过程。

如果一个矩阵A具有n个线性无关的特征向量，我们可以将它们作为列向量构成一个可逆方阵S，并得到以下等式：

[公式]

其中，矩阵Λ为对角阵，其非零元素是矩阵A的特征值。由于矩阵S的列向量线性无关，因此逆矩阵 [公式] 存在。在等式两侧左乘逆矩阵，可以得到 [公式]。同样地，[公式]。

消元法中的矩阵有LU分解，施密特正交法中的矩阵有QR分解，而上述推导提供了一种新的矩阵分解方法。

之前提到的消元法进行行操作和列操作最后会得到“相抵标准型”。现在我们得到的则是矩阵的“相似标准形”，它保留了矩阵操作的基本性质——特征值，而相抵标准型则只剩下最内核的秩信息。

特征值可以提供矩阵幂计算的方法。

如果[公式] ，则有 [公式]。这表明矩阵 [公式] 具有和A一样的特征向量，而特征值为 [公式]。写成对角化形式则有：[公式]。进行相同的处理可以得到：[公式]。这说明 [公式] 具有和A一样的特征向量，而特征值为 [公式]。

如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量，并且所有的特征值都满足[公式] <1，那么当k→∞时，[公式] →0。

如果矩阵A没有重特征值，则它一定具有n个线性无关的特征向量。

如果矩阵A有重特征值，它有可能具有n个线性无关的特征向量，也可能没有。例如，单位阵的特征值为重特征值1，但它具有n个线性无关的特征向量。

对于如A= [公式] 的三角矩阵，特征值就是矩阵对角线上的元素2。其特征向量在 [公式] 的零空间中，满足 [公式]。求解可得x= [公式]，而没有第二个特征向量。

从给定的一个向量u0出发，我们可以通过对前一项乘以矩阵A得到下一项的方式，得到一个向量序列：[公式]。

[公式] 为一阶差分方程，[公式] 是方程的解。但这种简洁形式并没有给出足够的信息，我们需要通过特征向量和矩阵的幂运算给出真实解的结构。

将u0写成特征向量的线性组合：

[公式]

[公式]

[公式]

下面用斐波那契数列进行举例。

斐波那契数列为0,1,1,2,3,4,8,13……其通项公式为[公式]。求 [公式]？

如果我们以矩阵的方式来理解数列，则矩阵的特征值可以告诉我们数列中数值的增长速度。

为了凑成矩阵形式，需要用一个比较巧妙的技巧。令[公式]，则有：

[公式] 写成矩阵形式为 [公式]

观察矩阵A= [公式] 的特征值和特征向量，因为其为对称矩阵，特征值为实数，且特征向量正交。

[公式]

解得[公式]，[公式]，绝对值大于1的 [公式] 控制着在斐波那契数列的增长。[公式]，因为 [公式] <1，所以当乘方次数较高时有k→∞， [公式] →0。

从特征值可以求得对应的特征向量x1= [公式] 和x2= [公式]。

在这里G. Strang 用了个小技巧，因为是二阶方程，而且矩阵[公式] 是奇异矩阵，所以只要符合[公式] 两个方程其中的一个即可，选取下面的方程，则立刻可以看出方程的解。

从[公式]，可以求得 [公式]。

[公式]

可知[公式]。

很多人会问矩阵的特征值特征向量为什么这么神奇，可以把矩阵的操作变成一个简单的参数。还有人会问道为什么特征值在物理中出现非常频繁。对此我只能简单解释一下，物理中常见的被研究物体都有一个自身的内禀结构，这个内在结构的方向往往和观察者也就是外场的坐标有区别。当我们给物体施加一个外场刺激的时候，比如说外力或者电场极化等等，物体沿着其内在结构的取向来响应外场，但是观察者从外场坐标下采集反馈。实际上矩阵在不同坐标之间实现变换，特征向量显示了物体内结构的方向，特征值则是在这个主方向上物体对外场的响应参数。在有的领域直接将特征值称为伸缩系数，实际上它反应了在其所对应的特征向量方向上，内结构与外场之间的相互关系。特征值还有一个应用是作为降维的判据，比如在图像压缩过程中，极小的特征值会被赋值为0，以此节省存储空间，也便于其它操作。反应在图像上，降维后的图像基本轮廓依旧清晰，图像细节有所牺牲。