已知函数f(x)=X2+2X+a/x, x属于[1，正无穷)。当a=1/2时，求函数f(x)的最小值？

Question

函数y=x的平方+2X+1/2,X属于区间1到正无穷，求函数最小值

Answer 1

(1)首先 f(x) = x + a/x + 2
1、当a = 0.5时，f(x) = x + 1/2x + 2极值点在x = √(1/2) < 1处所以取不到
在[1,正无穷)上单调增，最小值在 f(1) = 7/2

(2)∵f(x)>0恒成立
∴x²+2x+a＞0恒成立
∵x²+2x+a在[-1,正无穷）上单调递增.
∴x=1时,f（x）=3+a
当x=1时,f(x)取得最小值.
∴3+a＞0 f(x)＞0恒成立
∴a＞-3

Answer 2

首先 f(x) = x + a/x + 2
1、当a = 0.5时，f(x) = x + 1/2x + 2极值点在x = √(1/2) < 1处所以取不到
在[1,正无穷)上单调增，最小值在 f(1) = 7/2

Answer 3

考虑到函数中含有分式 考虑用导函数当a=1/2时 y'=2x-1/(2x^2) +2 易见导函数在定义域内 单调递增 而当x=1时y'=7/2>0所以导函数在定义域内 恒大于0 即 y单调递增 于是当x=1时 函数取得最小值7/2值得注意的是 在求一般函数的最植问题 导函数有很好的作用 希望能掌握

Answer 4

因为 y=(x+1)^2-1/2 所以 x=1 时 y取得最小值为7/2