高中数学研究性学习

Question

课题一：二次函数图像特点应用。课题二：空集是一切集合的子集，但在解决关键几何问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。任选一课题，要给具体的资料，因为要整理成1000字的论文。

Answer 1

它的图像在现实中也有很大应用，比如拱桥啊，还有物理中的平抛运动。以下是资料。
进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）= x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b/2a ]及[－b/2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。（1）y=x2+2|x－1|－1 （2）y=|x2－1| （3）= x2+2|x|－1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。类型Ⅳ设f（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。求：g（t）并画出 y=g（t）的图象解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2 t2－2， （t<0）g（t）= -2，（0≤t≤1）t2－2t－1， （t>1）首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：类型Ⅴ：设二次函数？（x）=ax2+bx+c（a>0）方程？（x）－x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1a .（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X<？（x）<x1.（Ⅱ）设函数？（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0< x2 .解题思路：本题要证明的是x<？（x），？（x）<x1和x0< x2 ，由题中所提供的信息可以联想到：①？（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程？（x）－x=0可变为ax2+（b－1）x+1=0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：（Ⅰ）先证明x<f（x），令f（x）=f（x）-x，因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax2+bx+c，所以能f（x）=a（x－x1）（x－x2）因为0<x1<x2，所以，当x∈（0，x1）时， x－x1<0， x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此f（x） ＞0，即f（x）-x＞0.至此，证得x<f（x）根据韦达定理，有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a ，c=ax1x2<x=f（x1）， 又c=f（0），∴f（0）<f（x1）， 根据二次函数的性质，曲线y=f（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y=f（x）在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于f（x1）>f（0），所以当x∈（0，x1）时f（x）<f（x1）=x1，即x<f（x）<x1（Ⅱ） ∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+（c－ ），（a>0）函数？（x）的图象的对称轴为直线x=－ b2a ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a ，因为x1，x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a ，∵x2－1a <0，∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）<x2 ，即x0=x2 .二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）= x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b/2a ]及[－b/2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。（1）y=x2+2|x－1|－1 （2）y=|x2－1| （3）= x2+2|x|－1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。类型Ⅳ设f（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。求：g（t）并画出 y=g（t）的图象解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2 t2－2， （t<0）g（t）= -2，（0≤t≤1）t2－2t－1， （t>1）首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：类型Ⅴ：设二次函数？（x）=ax2+bx+c（a>0）方程？（x）－x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1a .（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X<？（x）<x1.（Ⅱ）设函数？（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0< x2 .解题思路：本题要证明的是x<？（x），？（x）<x1和x0< x2 ，由题中所提供的信息可以联想到：①？（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程？（x）－x=0可变为ax2+（b－1）x+1=0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：（Ⅰ）先证明x<f（x），令f（x）=f（x）-x，因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax2+bx+c，所以能f（x）=a（x－x1）（x－x2）因为0<x1<x2，所以，当x∈（0，x1）时， x－x1<0， x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此f（x） ＞0，即f（x）-x＞0.至此，证得x<f（x）根据韦达定理，有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a ，c=ax1x2<x=f（x1）， 又c=f（0），∴f（0）<f（x1）， 根据二次函数的性质，曲线y=f（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y=f（x）在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于f（x1）>f（0），所以当x∈（0，x1）时f（x）<f（x1）=x1，即x<f（x）<x1（Ⅱ） ∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+（c－ ），（a>0）函数？（x）的图象的对称轴为直线x=－ b2a ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a ，因为x1，x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a ，∵x2－1a <0，∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）<x2 ，即x0=x2 .
二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。的内部达到，由于f(x1)>f(0)，所以当x∈(0,x1)时f(x)<f(x1)=x1，即x<f(x)<x1(Ⅱ) ∵f(x)=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+(c－ ),（a>0）函数?(x)的图象的对称轴为直线x=－ b2a ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a ，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a ，∵x2－1a <0，∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）<x2 ,即x0=x2 。二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。