关于线性代数中矩阵运算的一个问题

Question

题目：设n阶方阵A和B满足A=1/2(B+En).证明：A²=A <=> B²=En

证明：由 A=1/2(B+En) 可推出 B = 2A - En ①

再由 B² = (2A - En)(2A - En) = 4A² - 4A + En ②

证得 B²=En <=> 4A2 = 4A <=> A² = A ③

刘老师，①和②我看得懂，但是由①和②推出③的结论我看不懂。

设二阶方阵 A = [1 2] E2=[1 0]
[3 4] [0 1]

∴ A²=[1 2][1 2] =[7 10]

[3 4][3 4] [15 22]

∴ B = 2A-E2 = [2 4]- [1 0] = [1 4]
[6 8] [0 1] [6 7]

∴ B² = [1 4][1 4] = [25 32]
[6 7][6 7] [48 73]

我的结论是A²≠A，B²≠E2，怎么题目中要证明的结论是 A²=A ,<=> B²=En呢？也许是我理解有误，请老师指点，谢谢！！！

Answer 1

这用的是二项式展开
-- 条件是 两个矩阵可交换!

(E+C)^100 = E^100 + C(n,1)E^99 C + C(n,2)E^98 C^2 +...
= E + nC

注意这里 C^2=0, 故 C^3=C^4=...=0

追问

别说那么复杂好吗，如果AB=BA，那么A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵，你就我举的例子说明一下，我的例子怎么算完之后与结论不符呢，指出我的错误就行，再举个例子，说明结论的正确，谢谢！！！

Answer 2

说明一件事情，就是你没有弄清题目的含义.

题目的含义分为两个部分：
其一是：已知A=1/2(B+En), 且A^2=A,证明B^2=En;
其二是: 已知A=1/2(B+En), 且B^2=En,证明 A^2=A.

追问

那么设A与B都是二阶方阵，A和B等于什么值，才能满足题目中的已知呢？

追答

这里是针对任意矩阵而言, 对于二阶矩阵. 如果A,B均是单位矩阵,不是都满足条件吗