如图，等腰梯形ABC中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°M是BC的中点。 1）求证：△MDC是等边三角形。

Question

2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD'）与AB交于一点E，MC（即MC'）同时与AD交于一点F时，点E、F和点A构成△AEF。
试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由。
如果存在，请计算出△AEF周长的最小值，△AEF的面积有最大值或最小值吗？

Answer 1

1.连接BD，
∵在等腰梯形ABCD中，∠C=60°
∴∠B=∠C=60°
∵AD∥BC
∴∠A=120°
∵AD=AB=CD=2
∴∠ABD=∠ADB=30°
∴∠CBD=30°，∠BDC=90°
∵M是BC的中点
∴DM=CM=BM
∵∠C=60°
∴ΔMDC是等边三角形
2.
解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离√3，即EF的最小值是√3，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+√3，
面积没有最小值，有最大值：S=√3×1/2÷2=√3/4
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+√3．面积没有最小值，有最大值

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祝学习进步！

Answer 2

(1)过D作DH⊥BC于H，
由DC=2，∠C=60°，∴CH=1
BC=1+2+1=4，MC=DC=2，
△DMC是等边三角形。
（2）连AM，
由AM=BM，∠AMF=∠BME，∠B=∠MAF=60°，
∴△AMF≌△BME（ASA）
∴BE=AF，即AE+AF=2（是定值）
△AEF中：∠A=120°，AE=x，AF=2-x
cosA=[AE²+AF²-EF²]/2AE×AF
-1/2=（4+（2-x）²-EF²）/2x（2-x）
EF²=x²-2x+4
EF=√[（x²-2x+1）+3]
=√[（x-1)²+3]
当x=1，即AE=AF=1时，有最小值EF=√3，
即△AEF最小周长Lmin=2+√3.
（3）∵0＜x＜2，
∴面积没有最小值，有最大值：S=√3×1/2÷2=√3/4.