相对论推导过程

Question

请教相对论中的相对长度公式以及相对时间公式还有相对质量公式的推导过程另外，如果可以，请把质能方程推导过程也写出来，谢谢

Answer 1

狭义论公式
　　相对论公式及证明
　　单位 符号 单位 符号
　　坐标： m (x,y,z) 力： N F(f)
　　时间： s t(T) 质量:kg m(M)
　　位移： m r 动量:kg*m/s p(P)
　　速度： m/s v(u) 能量: J E
　　加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I
　　长度： m l(L) 动能：J Ek
　　路程： m s(S) 势能：J Ep
　　角速度： rad/s ω 力矩：N*m M
　　角加速度:rad/s^2α 功率：W P
　　一：
　　牛顿力学（预备知识）
　　(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0 ∫rdt
　　(2)a=dv/dt,v=v0 ∫adt
　　(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)
　　当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
　　当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
　　只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
　　(二)：质点动力学：
　　(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
　　(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
　　F=ma=mdv/dt=dp/dt
　　(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
　　(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
　　F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
　　动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
　　动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
　　动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
　　机械能守恒：只有重力做功时，Ek1 Ep1=Ek2 Ep2
　　(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)
　　二、狭义相对论力学
　　（注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。）
　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。
　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
　　（此处先给出公式再给出证明）
　　2．洛仑兹坐标变换：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
　　3．速度变换：
　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
　　4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
　　6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1 β))ν(b)
　　（光源与探测器在一条直线上运动。）
　　7．动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm
　　8．相对论力学基本方程：F=dP/dt
　　9．质能方程：E=Mc^2
　　10．能量动量关系：E^2=(E0)^2 P^2c^2
　　（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）
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　　三、三维证明
　　1．由实验总结出的公理，无法证明。
　　2．洛仑兹变换：
　　设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X uT=0。
　　可令
　　x=k(X uT) (1).
　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.
　　故有
　　X=k(x-ut) (2).
　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得
　　Y=y (3).
　　Z=z (4).
　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut) kuT,即
　　T=kt ((1-k^2)/(ku))x (5).
　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT.
　　代入(1)(2)式得：ct=kT(c u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：
　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
　　3．速度变换：
　　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
　　同理可得V(y),V(z)的表达式。
　　4．尺缩效应：
　　B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ
　　5．钟慢效应：
　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T Xu/c^2),故△t=γ(△T △Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T.
　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）
　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u v1)/(u-v2))ν(b).）
　　B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为
　　△t(a)=γ△t(b) (1).
　　探测器开始接收时刻为t1 x/c，最终时刻为t2 (x v△t(a))/c，则
　　△t(N)=(1 β)△t(a) (2).
　　相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即
　　ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3).
　　由以上三式可得：
　　ν(a)=sqr((1-β)/(1 β))ν(b).
　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c）
　　牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
　　牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
　　8．相对论力学基本方程：
　　由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）
　　9．质能方程：
　　Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
　　=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2 mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
　　=Mv^2 Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
　　=Mc^2-mc^2
　　即E=Mc^2=Ek mc^2
　　10．能量动量关系：
　　E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2 p^2c^2

Answer 2

洛仑兹变换：
　　设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。
　　可令
　　x=k(X+uT) (1).
　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.
　　故有
　　X=k(x-ut) (2).
　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得
　　Y=y (3).
　　Z=z (4).
　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即
　　T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).
　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT.
　　代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：
　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
速度变换：
　　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
　　同理可得V(y),V(z)的表达式。
尺缩效应：
　　B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ
钟慢效应：
　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T.
　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）