大一线性代数题目。

Question

我主要是化行最简式的时候有困难,就是第一步我把第一行和第三行交换了,然后r2+r1,r3试了几个想得到的方法怎么都没法跟r1想加或相减后等于0... 求大神谢谢。
(2-λ)x1+2x2-2x3=1
2x1+(5-λ)x2-4x3=2
-2x1-4x2+(5-λ)x3=-λ-1
求λ为何值时,此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多解?并在有无限多个解时,求其通解。

Answer 1

增广矩阵
2-λ 2 -2 1
2 5-λ -4 2
-2 -4 5-λ -λ-1

r₁ × -2 加到r₂
r₁ × (λ+1) 加到r₃

得到
2-λ 2 -2 1
2λ-2 1-λ 0 0
-λ²+λ 2λ-2 3-3λ 0

r₂ × 2 加到r₃
得到
2-λ 2 -2 1
2λ-2 1-λ 0 0
-λ²+5λ-4 0 3-3λ 0

即
2-λ 2 -2 1
2λ-2 1-λ 0 0
-(λ-1)(λ-4) 0 3-3λ 0
①

显然λ=1时，上面矩阵①为
1 2 -2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
方程组有无数组解。

当λ≠1时，上面矩阵①，
r₂ ÷ (1-λ)
r₃ ÷ (λ-1)

得到
2-λ 2 -2 1
-2 1 0 0
λ-4 0 3 0

r₂ × (-2) 加到r₁

得到
6-λ 0 -2 1
-2 1 0 0
λ-4 0 3 0

r₁加到r₃

得到
6-λ 0 -2 1
-2 1 0 0
2 0 1 1

r₂ × (6-λ)/2 加到r₁
r₂ 加到r₃

得到
0 (6-λ)/2 -2 1
-2 1 0 0
0 1 1 1

r₂ r₁对调
得到
-2 1 0 0
0 (6-λ)/2 -2 1
0 1 1 1

r₂ - r₃
得到
-2 1 0 0
0 (4-λ)/2 -3 0
0 1 1 1

显然，此矩阵的秩为3
因此方程组存在唯一解。