已知函数f(x)=(a-1/2) x 2 lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，

Answer 1

(1)首先对f(x)求导 f'(x)=x+1/x,
令f'(x)=x+1/x=0，f'(x)恒大于0，说明它是递增函数，
所以在两个端点取最大跟最小，最小为f(1)=1/2 ,最大为f(e)=1/2e^2+1
(2)在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图像恒在直线y=2ax的下方

也就是说f(x)<2ax对于一切x∈(1,+∞)恒成立

即

(a-0.5)x^2+lnx<2ax 对于一切x∈(1,+∞)恒成立

(2x-x^2)a>lnx-0.5x^2

1.

1<x<2时2x-x^2>0

a>(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

令g(x)=(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

求导得:

g'(x)={[(1/x)-x]/(x^2-2x)}-[2(x-1)(lnx-0.5x^2)/(x^2-2x)^2]

=[2-x^2-x+2(x-1)lnx]/(x^2-2x)^2

令g'(x)=0,则有:

2-x^2-x+2(x-1)lnx=0

2(x-1)lnx-(x^2+x-2)=0

2(x-1)lnx-(x+2)(x-1)=0

(x-1)(2lnx-x-2)=0

x=1为其驻点,

2lnx-x-2=0时lnx=0.5x+1

用作图法求出:

两者无交点，故原函数只有一个驻点x=1

此时为(1,2)上的极大值点:

故a≥g(1)=-0.5

2.当a=2时2x-x^2=0

lnx-0.5x^2<0

采用作图法:

显然成立,故a=2时可行

3.当a>2时2x-x^2<0

a<(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

g'(x)<0,g(x)单调减,故

a≤lim(x→+∞)(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

=lim(x→+∞){-[lnx/(x^2-2x)]+0.5x/(x-2)}

=lim(x→+∞)-[lnx/(x^2-2x)]+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]

=lim(x→+∞)-{1/[2x(x-1)]}+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]

=0+0.5=0.5

故a≤0.5

综上所述,a∈[-0.5,0.5]∪{2}

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