(x,y)趋于(0,0)，求极限(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

Question

问题补充： 类似地，求x趋近于0，y趋于0时(x^3-y^3)/(x^2+y^2)的极限，如果方法差不多就不用讲了。详解，谢谢！

Answer 1

(x,y)趋于(0,0)，求极限(x³+y³)/(x²+y²)

解：设动点P(x，y)沿着直线y=kx(k∈R)趣近(0，0)，那么：
x➔0，y=kx➔0lim[(x³+y³)/(x²+y²)]=x➔0，y=kx➔0lim[(x³+k³x³)/(x²+k²y²)]
=x➔0，y=kx➔0lim[x(1+k³)/(1+k²)]=0

追问

沿y=kx趋近于原点得到此极限不代表沿其他路径趋近仍为此极限啊，这种方法只能拿来证明不存在极限吧

追答

按多元函数的极限定义，如果极限存在，就应该与趋限的路径无关；
如果极限与路径有关，就说明极限不存在。如果题目规定了趋限的
路径，比如规定要你求沿x轴方向的极限，那又另当别论。

追问

原题是，这道题目前是基于不知道极限是否存在的基础上，我要问的也是这个，这种情况怎么解？我可以猜到极限存在为0，但是需要证明吧？

追答

这道题，分子都是三次方，分母是二次方，当趋于零时，分子是比分母高阶
的无穷小，其极限必为0；你的问题上面都已回答过了：在没有规定路径的
情况下，只能用x➔0，y=kx➔0这种方式求解。