近世代数理论基础25:唯一分解整环
2.D中任意两个元都有最大公因子 例：环 不满足每一个不可约元都是素元,D不是唯一分解整环 例如 , ,即9的两种不同的不可约元的因子分解 定义：设D是一个整环,若D的每一个理想都是主理想,则称D为主理想整环(PID)例：整数环Z和 都是PID 设I为Z的任一理想,则I中必有一个最小的...
含有非平凡理想的环的例子
3、相关性质定理：主理想环中不可约元生成的理想是极大理想。主理想整环是唯一因子分解整环。在主理想环D中，设d是a，b的最大公因子，则=<d>。在主理想环D中，设d是a，b的最大公因子，则∃u,v∈D使得：au+bv=d。唯一分解性设R为一主理想环，那么对任意非零元a∈R能够被惟一的分解。
(m,x)为什么不是主理想
PID一定是唯一分解。根据查询相关公开信息显示，Z[m，x]中(m，x)不是主理想，m和x互素，没有非可逆元的x与m的公因子。主理想是1993年公布的数学名词，由环R中一个非零元x生成的理想(x)称为环R的主理想。
剩余类环是主理想整环吗
不是。剩余类环是有理整数环的剩余类环Z\/mZ的推广，它并不是主理想整环，主理想整环是比唯一因子分解整环范围更窄的整环类，若一个环R的任意理想都是主理想，则称R为主理想环。若R同时又为整环，则R称为主理想整环。
欧几里得整环例子
利用辗转相除法，可以证明欧几里得环必为主理想环，即环的理想由其中 v-值最小的元素生成。这一性质进一步表明欧几里得整环具有独特的结构，即必为唯一分解环。值得注意的是，并非所有主理想环都是欧几里得整环。Motzkin 的工作表明，整数环在特定的 d 值（如 -19、-43、-67、-163 等）时虽然是主理想...
【抽象代数】因子分解与域的扩展
但由于一般环中没有大小的概念,这些性质不一定成立,但却启发了我们如何构造更一般的唯一分解环。这里介绍两个重要的唯一分解环,它们的定义中都有着整数环最大公约数的影子。 整数环的任何理想都有一个最小数,这个数是理想的最大公约数,且它的所有倍数都在理想中,即该理想是其最大公约数生成的主理想。任何理想...
哪些代数数域中素因数的唯一分解性成立?又在哪些数域中不成立?怎么判定...
首先，如果整环上有唯一分解定理，那么域上必定也有唯一分解定理.因此我们从环上考虑。一个整环若有唯一分解性成立，则称之为唯一分解整环或者Gauss整环。Gauss整环的判定可用下面定理：1，因子链条件(即因子降链有限(在代数数论里常用这一词)，或者主理想升链有限)2，每一个不可约元为素元。这样我们能...
近世代数理论基础26:多项式环
的多项式f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积当且仅当f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积 定理：设D是一个UFD,则 也是一个UFD 证明：例： 是一个UFD,故 是一个UFD,同时 不是一个PID 例如 就不是一个主理想 唯一分解整环不一定是主理想整环 ...
主理想环性质
2. 唯一分解性: 在主理想环R中，非零元a可以进行独特的分解，形式为a = u * p1d1 * p2d2... * pndn，其中u是可逆元，pi为素元，且di大于0。这个分解在不考虑元素顺序的情况下是唯一的。证明过程是通过先假设存在无限上升的理想链，然后利用主理想环的性质推出矛盾，从而证明分解的有限性。
数学中的环是什么意思
主条目：主理想环 每一个理想都是主理想的整环称为主理想环。唯一分解环：主条目：唯一分解环 如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.商环：主条目：商环 素环：主条目：素环 例子：整数环是一个典型的交换且含单位环。有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位...
