空间解析几何

Question

有一束平行于直线L:x=y=-z的平行光照射不透明的球面S:x^2+y^2+z^2=2z.求球面在xoy面上留下的阴影部分的边界线方程

Answer 1

说下思路，自己解吧。
平行线，应该是斜率相同的一组直线，此题中可以表示为：x+Bx=y+By=z+Bz，其中BxByBz表示截距，可以任意数；
平行线与球体相交，交点可满足直线方程和球体方程。在满足两者的一组无穷点中，截距为极值状态下的直线与球的交点肯定属于边界中的点，据此作进一步解。若知悉球体所在象限，可以判断是截距的极大值或极小值满足要求。

追问

可以讲详细点吗？

追答

一束平行线实际就是无穷多条线，照射到球体上边界实际是球体周长的那一圈。但从不同的角度看，那个圈的位置不同。题目要求求出这个圈的方程。如果光线在圈外，则不照射在球体上，与球体没有交点，方程联立也没有共同的实数解；如果照射在圈内，则相交，有共同的解；只有照射在边界上，与球体相切，形成的轨迹是所求。如果有找出切线方程的方法，则可大大简化此题的解题步骤。