做数列题，老师批写：“若用递推公式要先给出证明。”什么意思？

Question

题目：
已知数列｛an}各项均为正值，a1=1，对任意n∈N+，

（an+1）的平方 - 1 ＝4an乘以（an+1).........

剩下的不打了，我开始的回答：

a2的平方－1=4·（2） →a2=3
a3的。。。。。。。。 →a3=7 然后我写了省略号……

直接写了an=2的平方-1

关于这题，答案是对了，不过老师没给我满分，扣了很多。

老师批写：“若用递推公式要先给出证明。”

问题来了，这个是什么意思？如何证明？

另外听说有什么 数学归纳法

他是怎么回答的？ 麻烦也写一下 数学归纳法 的介绍

Answer 1

数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。)

这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下。

只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。

那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：

自然数集是有序的

被使用。

注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的。

用数学归纳法进行证明的步骤：
（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

（2）（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；

（3）下结论：命题对从 开始的所有正整数 都成立。

注：
（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；

（2）在第二步中，在递推之前， 时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对 成立），就可以知道命题对 也成立，进而再由第二步可知 即 也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中， 时命题成立，可以作为条件加以运用，而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将 代入命题.

你一眼能看出答案，是个本领。

然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。

比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过，就说明答案是唯一的！比如x + y = 2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗？所以你的证明方法是严格错误的！

你的这种思想本身就是经不起推敲的，学习数学不是会做多少题，而是给自己建立一套缜密的思维。你的这种思维在学习过程中是一个巨大的绊脚石，你现在做的就是假设某某正确，然后拼死维护它的正确，即使有不严密的地方你也视而不见。我说过，你有一眼看出答案的本领，这只是本领而已，填空题你有优势。但是如果你缺少了证明的思维，证明的本领，那你就成了一个扶不起来的阿斗。最可怕的是你的这个思想：褒一点说善于投机取巧，贬一点说，就是思维惰性，懒。

说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办？那就无所适从，永远也解不出来了！这就是你的做法带来的答案，你想想呢？你的这种做法有什么值得推广的？

OK,了解！

数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立；假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论确保了n属于N时成立，这是严密的。

你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案（首项和公比均已知），不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证明的；而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的结论。未经证明，（即使它很严密，我说即使）它不被别人认可。事实上，你的证明方法（猜想带入所有条件均成立）只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A满足B就说A=B显然是不充分的。而数学归纳法充分必要，或者说“不大不小，不缩不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出来的答案归纳一下就是充分必要。

Answer 2

数学归纳法常用于与自然数有关的命题的证明。
第一步是证明N=1时成立
第二步是假设N=K时成立 证明N=K+1时成立
先来考虑特殊情况：
当已经证明N=1时成立 那么第二步就是证明N=2成立，于是我们就假设N=1成立 再在此基础上证明N=2成立，假设N=2成立，用此结论证明N=3成立……以此类推，我们就是想能证明N=K成立时N=K+1也成立。而上述特殊情形正是利用这种规律，所以要先证明N=1时成立。所以数学归纳法证明出来的结论正确

是需要证明的

Answer 3

这个，在考试的时候时必须要给出证明的
数学归纳法时这样的
首先验证当n=1时成立
再假设当n=k(k>=1)时成立
由此推出n=k+1时成立证明就完成了

Answer 4

这个公式不是定理，不可以拿来直接用