计算∫∫(axdydz+(z+a)^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)^1/2,S是球面x^2+y^2+z^2=a^2的下半部分的上侧

Question

计算∫∫(axdydz+(z+a)^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)^1/2,S是球面x^2+y^2+z^2=a^2的下半部分的上侧

Answer 1

先把分母代入，然后补平面D：z=0，x^2+y^2<=a^2，方向朝上。然后用Gauss公式
原积分=∫∫(axdydz+(z+a)^2dxdy)/a
=1/a*∫∫_(S并上D^(--) axdydz+(a+z)^2dxdy +1/a*∫∫_(D^(+) axdydz+(a+z)^2dxdy
=--1/a*∫∫∫ 【a+2(a+z)】dxdydz +1/a*∫∫a^2dxdy
=-1/a*【3a*2pi*a^3/3】+1/a*∫∫__(x^2+y^2<=a^2) (a^2--x^2--y^2)dxdy+a*pi*a^2
=--pi*a^3+pi*a^3/2
=--pi*a^3/2。