已知函数f(x)=(4x^2-7)/(x-2),x∈[0,1].(1)求f(x)单调区间和值域(g

Question

已知函数f(x)=(4x^2-7)/(x-2),x∈[0,1].
(1)求f(x)单调区间和值域
(2)设a>=1,函数g(x)=x^3-3xa^2-2a,x∈[0,1]若对于任意x1∈[0,1]总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.

Answer 1

(1) f(x)=(4x^2-16+9)/(x-2)
=[4(x+2)(x-2)+9]/(x-2)
=4x+8+9/(x-2)
=4(x-2)+9/(x-2)+16
<=-2*√[4(x-2)*9/(x-2)]+16
=4 当且仅当4(x-2)=9/(x-2)，x=1/2时，等号成立
所以当0<=x<1/2时，f(x)单调递增；当1/2<=x<=1时，f(x)单调递减
因为f(0)=7/2，f(1)=3
所以值域为[3,4]
(2) 因为对任意x1∈[0,1]，有f(x1)∈[3,4]
所以根据题意，在0<=x<=1时，g(x)的值域包含[3,4]
因为g'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)<=0
所以g(x)在[0,1]上单调递减
又因为g(x)在[0,1]上连续
所以g(1)<=3，且g(0)>=4
①1-3a^2-2a<=3
3a^2+2a+2>=0
a∈R
②-2a>=4
a<=-2
所以综上所述，a不存在

追问

额。。。。。。0<=x<1/2时，f(x)单调递增；当1/2<=x<=1时，f(x)单调递减？？我咋跟你反的呢

追答

因为x∈[0,1]，x-2<0
所以是先增后减

Answer 2