线性代数四阶行列式计算

Question

2+a 2 2 2
2 2-a 2 2
2 2 2+b 2
2 2 2 2-b

Answer 1

按照定义算就可以，答案是a^2b^2.

如果对行列式很熟，如下办法会稍微快一点。设最终得到行列式D。
首先，D一定是关于a和b的一个多项式，总次数为4。
其次，当a=0时，前两行相同，故行列式为零，这说明D含有因子a。同理D含有因子b。
故而可设D=ab(x1*a^2 x2*b^2 x3*ab x4*a x5*b x6)， (1)
其中的x1,...,x6是常数。
然后，从原行列式观察到互换a和b得到的行列式必相同，故
x1=x2, x4=x5. (2)
然后，观察到D的值在b=a和b=-a时是相同的（因为在这两种情况下，前两行一致，后两行和后两列分别互换即得到相同）。把b=a和b=-a分别代入(1)得到
x1=x2=x5=x6=0. (3)
联立(2)(3)得到x4=0，将它们代入(1)得到D=c*a^2b^2，其中c是常数。
令a=b=2，代入原式，每行除以2（这抵消掉a^2b^2做的贡献），得到一个0-1四阶矩阵，然后生算它的行列式（注意这比生算原来的行列式容易一些），值是1，这就是常数c。故而D=a^2b^2.

追问

安定一算的求详细解答过程QAQ谢谢

追答

第一行减去第二行得到(a,a,0,0)，提取因子a.
第三行减去第四行得到(0,0,b,b)，提取因子b.
之后得到的矩阵为
1 1 0 0
2 2-a 2 2
0 0 1 1
2 2 2 2-b
第二行减去第三行的2倍得到(2,2-a,0,0).
第四行减去第一行的2倍得到(0,0,2,2-b).
之后得到的矩阵为
1 1 0 0
2 2-a 0 0
0 0 1 1
0 0 2 2-b
它是一个分块矩阵。分别计算左上方和右下方的二阶子阵行列式得到-a和-b。二者相乘得到ab。
乘以第一步的两个因子a和b，最终得到行列式a^2b^2.

Answer 2

D=-|2 2 2 2-b|
|0 -a 0 b |...
|0 0 b b |
|a 0 0 b |