一道数学题..求大神解答..要全过程

Question

这个

Answer 1

答：
（1）f(x)的定义域为x>0，f'(x)=x+1/x>=2>0
所以f(x)的单调增区间为(0,+∞)

（2）令g(x)=f(x)-2x^3/3=-(2/3)x^3+x^2/2+lnx
g'(x)=-2x^2+x+1/x
g'(x)=0解得：x=1
g''(x)=-4x-1/x^2<0
所以：x=1是g(x)的极大值点
当x>1时，g'(x)<g'(1)=0
所以：当x>1时，g(x)是减函数，g(x)<g(1)=-2/3+1/2+0=-1/6<0
所以：g(x)=f(x)-2x^3/3=-(2/3)x^3+x^2/2+lnx<0
所以：x^2/2+lnx<(2/3)x^3

Answer 2

这题！（1）利用导数来求，F（x）导数=x+1/x（x>0）
毫无疑问，即结果大于0，说以F(x)在x>0时为增函数
（2）将等式的两边都移到一边，即设函数y=2/3x三次方-1/2x平方-lnx
我们要求证的就是他的结果要大于0
继续求倒数
y导数=2x平方-x-1/x
很显然，当x大于1时y导数肯定大于0，即y函数为增函数，再将x=1代进等式y，结果为1/6，即后面的结果都大于1/6，所以（2）得证

Answer 3

解：
1、f‘（X)=X+1/X
因此F（X）当X>0时单调递增，X<0时单调递减
2、
令G（X）=1/2X^2+lnX-2/3X^3
G’（X）=X+1/X-2X^2=X(1-X)+1/X-X^2。当X>1时1/X<1<X^2且X(1-X)<0，所以G'(X)<0即G（X)在
X>1时单调递减，且G(1)=1/2+0-2/3<0
因此G（X)在X>1时小于0，因此X>1时1/2X^2+lnX-2/3X^3<0，即1/2X^2+lnX<2/3X^3.原题得证。