已知Rt△ABC的斜边为AB，点A（-2,0），B（4,0），求点C的轨迹方程

Question

有几种解题方法 求全解

Answer 1

第一种
设C的坐标为(x,y)，因为AC⊥BC，所以直线AC和直线BC的斜率相乘为-1
即
[y/(x+2)]*[y/(x-4)]=-1
整理得到
(x-1)²/9+y²/9=1

第二种
设C（x，y），由AC⊥BC，∴∠ACB=90°，（c的轨迹为圆），
由两点间距离公式：
√[（x+2)²+y²]+√[(x-4)²+y²]=4+2
圆心O（1，0）半径r=（4+2）÷2=3.
∴（x-1)²+y²=9.
由|x-1|≤3，∴-2＜x＜4.x≠4，x≠-2，
y≤3，y≠0.

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追问

先求AB中点M,再MC=1/2 AB 为什么这个不行？

追答

也可以
中点M（1，0）
设M（x，y）
MC=1/2AB=1/2 *6=3
MC的平方=9
所以 （x-1)²+y²=9.

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Answer 2

方法一.利用勾股定理 (x+2)^2+y^2+(x-4)^2+y^2=36有(x-1)^2+y^2=9，但是要除去(-2,0),（4, 0)这两个点
方法二.利用推论Rt三角形的直角的运动轨迹是以直角边为直径的圆。以为AB长为6，中心坐标(1, 0)所以(x-1)^2+y^2=9，但是要除去(-2,0),（4, 0)这两个点
方法三.向量垂直，kac*kbc=0也可以算出来相同的结果