怎样判断线性还是非线性微分方程？

Question

怎样学好常微分方程？

Answer 1

对于一阶微分方程,形如:

y'+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"

例如:

y'=sin(x)y是线性的

但y'=y^2不是线性的

注意两点:

(1)y'前的系数不能含y,但可以含x,如:

y*y'=2 不是线性的

x*y'=2 是线性的

(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:

y'=sin(x)y 是线性的

y'=sin(y)y 是非线性的

(3)整个方程中,只能出现y和y',不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:

y'=y 是线性的y'=y^2 是非线性的

扩展资料：

简单来讲，线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

线性方程也称一次方程式。指未知数都是一次的方程。其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。

因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。

形为 ax+by+...+cz+d=0 ，关于x、y的线性方程，是指经过整理后能变形为ax+by+c=0的方程（其中a、b、c为已知数，a、b不同时为0）。一元线性方程是最简单的方程，其形式为ax=b。因为把一次方程在坐标系中表示出来的图形是一条直线，故称其为线性方程。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不

过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

参考资料：百度百科-线性微分方程

Answer 2

在常微分方程中，如果右端函数F对未知函数y和它的各介导数y‘，y’‘，y(n)（n介导数）的全体而言是一次的，则它是线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程。y’‘+yy'=x是非线性的。y’+y+y''=x就是现行的。要学好常微分方程，首先要认真听课，掌握好基本的定义。微分方程的解法很重要，各种方程类型要回分辨，对应的解法要记牢掌握。解方程组，只要掌握了公式，考试题目基本可以迎刃而解。当然还要做一定的题目，熟练掌握各种运算技巧。只要下定决心学，没有学不会的。我是数学专业的，开始觉得很难，后来硬着头皮看书，总结题型，最后都掌握了。不要考试时在复习，平时就要抓紧，我周围就有很多失败的例子。祝你好运！

Answer 3

对于一阶微分方程,形如:

y'+p(x)y+q(x)=0

的称为"线性"

例如:

y'=sin(x)y是线性的

但y'=y^2不是线性的

注意两点:

(1)y'前的系数不能含y,但可以含x,如:

y*y'=2 不是线性的

x*y'=2 是线性的

(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:

y'=sin(x)y 是线性的

y'=sin(y)y 是非线性的

(3)整个方程中,只能出现y和y',不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:

y'=y 是线性的

y'=y^2 是非线性的

Answer 4

线性即(直观的说，做题直接可以判断的依据)：
方程中不含交叉项，如：yy'、yy''、y'y''等
方程中不含高次项，如：(y'')^2、y^3等
方程不含有负次项，如：1/y、1/y''等
说白了就是不是这些东西(y、y'、y''、y'''...)的线性组合，还有例如什么e^y+y''、siny'+y多了去了
ay+by''+cy'''...就是他们的线性的组合了
总之不是这些东西的线性的组合，列写出来即为非线性方程(感觉这句表达的有点不像人话了，你知道我的意思吧...呵呵)

Answer 5

线性，即一次。关于y,y',y'',……都是一次的微分方程是线性微分方程。否则，是非线性微分方程。
要学好微分方程，需先学好数学分析，牢固掌握微分(微商)与积分。不同专业的微分方程内容有较多差别。注意学好前几章。
仅供参考。