高中数学排列组合，概率问题

Question

甲乙两人做掷骰子（一种各面分别标有1，2,3,4,5,6个点的正方体玩具）游戏，每局两人同时各掷一个骰子，规定点数多为胜，点数相同为平局，胜得2分，平局得0分，负得-1分，设X为甲的总得分，求比赛两局X的分布列和期望

Answer 1

P｛甲＜乙｝＝　SUM＿｛K＝2，3，．．．，6｝P{乙＝K，甲＜K}
＝SUM＿｛K＝2，3，．．．，6｝P{乙＝K｝P｛甲＜K}
＝（1／6）SUM＿｛K＝2，3，．．．，6｝P｛甲＜K}
＝（1／6）SUM＿｛K＝2，3，．．．，6｝［(K-1)/6]
= [1+2+...+5]/36 = 5*6/(2*6*6)=5/12.

P｛甲＝乙｝＝SUM＿｛K＝1，2，．．．，6｝P{乙＝K，甲＝K}
＝SUM＿｛K＝1，2，．．．，6｝P{乙＝K｝P｛甲＝K}
＝SUM＿｛K＝1，2，．．．，6｝（1／6）（1／6）
＝6*1/6*1/6=1/6.

P｛甲＞乙｝＝　1 - P｛甲＜乙｝ - P｛甲=乙｝＝ 1-5/12-1/6=5/12.

P(X=-2)=P{第1局甲<乙,第2局甲<乙}=[P{甲<乙}]^2 = (5/12)^2 = 25/144.

P(X=-1) = P{第1局甲<乙,第2局甲=乙} + P{第1局甲=乙,第2局甲<乙}=2P{甲＜乙｝P｛甲＝乙｝
= 2*5/12 * 1/6 = 5/36.

P(X=0) = P{第1局甲=乙,第2局甲=乙} = [P{甲=乙}]^2 = (1/6)^2 = 1/36.

P(X=1) = P{第1局甲>乙,第2局甲<乙} + P{第1局甲<乙,第2局甲>乙}=2P{甲＜乙｝P｛甲>乙｝
＝2*5/12*5/12) = 25/72.

P(X=2) = P{第1局甲>乙,第2局甲=乙} + P{第1局甲=乙,第2局甲>乙}=2P{甲>乙｝P｛甲＝乙｝
＝2*5/12*1/6 = 5/36.

P(X=4) = P{第1局甲>乙,第2局甲>乙}=[P{甲>乙｝]^2 = [5/12]^2 = 25/144.

[验算：25／144＋5／36＋1／36＋25／72＋5／36＋25／144＝25／72＋25／72＋11／36　＝　25／36　＋11／36　＝　1]
分布列：
P(X=-2)=25/144,
P(X=-1)=5/36,
P(X=0)=1/36,
P(X=1)=25/72,
P(X=2)=5/36,
P(X=4)=25/144.

期望＝-2*(25/144) -1(5/36)+1(25/72)+2(5/36)+4(25/144)
=2(25/144)+5/36+25/72
=25/72+25/72 + 5/36
=25/36 + 5/36
=30/36
=5/6

Answer 2

1．排列及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
2．组合及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
3．其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列（Pnm(n为下标,m为上标)）
Pnm=n×（n-1）.（n-m+1）；Pnm=n!/（n-m）!（注：!是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n!；0!=1；Pn1（n为下标1为上标）=n
组合（Cnm(n为下标,m为上标)）
Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n!/m!（n-m）!；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

Answer 3

这就是答案