实对称矩阵 特征值

Answer 1

实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的。设Ap=mp，Aq=nq，其中A是实对称矩阵，shum，n为其不同的特征值。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

扩展资料：

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

若B可逆，则原关系式可以写作，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为A矩阵未必是对称的。

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 2

解:
由已知中的等式知
-1,
1
是a的特征值,
且
(1,0,-1)^t,
(1,0,1)^t分别是a的属于特征值-1,1的特征向量.
因为
r(a)
=
2,
所以|a|
=
0.
所以
0
是a的特征值.
设a
=
(x,y,z)^t
是a的属于0的特征向量,
则由a是3阶实对称矩阵,
所以a的属于不同特征值的特征向量正交,
得
x
-
z
=
0,
x
+
z
=
0
得属于特征值0的特征向量
a
=
(0,
1,
0)^t.
综上,
a的特征值有
-1,
1,
0,
a的属于特征值-1,1,0的特征向量分别是
c1(1,0,-1)^t,
c2(1,0,1)^t,c3(0,
1,
0)^t.
c1,c2,c3为非零的数.

Answer 3

给提供个解题思路吧：
实对称矩阵不同特征值的特征向量相正交
显然ab都是1的特征向量
求-1的特征向量只要和ab都正交满足即可！
把特征向量施密特正交可以得到矩阵P
P的转置AP=【1，1，-1】那么A=P【1，1，-1】P的转置