高中数学难题

Question

1、若a,b,c为不等于1的正数，a的x次方=b的y次方=c的z次方，且1/x+1/y+1/z=0,求abc的值。
2、函数y=a的2x次方+2a的x次方-19（a>0且a不等于1）在【-1,1】上有最大值14，求a的值。

Answer 1

1. 设 a的x次方=b的y次方=c的z次方=m x=log a m 1/x=log m a
1/x+1/y+1/z=log m a +log m b +log m c =log m abc=0
故abc=1
2. （a>0且a不等于1）
y=a^(2x)+2a^x-19=(a^x+1)^2-20
a>1时，x∈【-1,1】a^x∈[1/a,a]
a^x=a时，y(max)=(a+1)^2-20=14,
a^2+2a-33=0,a=√34-1(舍负）
0<a<1时，x∈【-1,1】a^x∈[a，1/a]
a^x =1/aa、时，y(max)=(1/a+1)^2-20=14
(1/ a)^2+2(1/a)-33=0,1/a=√34-1(舍负）
a=(1+√34)/33

Answer 2

1.设a^x=b^y=c^z=t,得xlna=ylnb=zlnc=lnt
1/x+1/y+1/z=lna/lnt+lnb/lnt+lnc/lnt=lnabc/lnt=0
abc=1
2.y=(a^x+1)^2-20
当a>1时 y(1)=(a+1)^2-20=14 a=34^0.5-1
当a<1时 y(-1)=(1/a+1)^2-20 a=烦了，自己算

Answer 3

一、
M=a^x=b^y=c^z
a=M^(1/x)
b=M^(1/y)
c=M^(1/z)
abc=M(1/x+1/y+1/z)=M^0=1
二、y=(a^x+1)^2-20
x增加，a^x也增加，y就增加，所以是单调增函数，在x=1时取最大值14
所以（a+1)^2=34 ，a>0,所以只能取正根
a＝-1+根号下34

Answer 4

设a^x=b^y=c^z=k,则
a=k(1/x),b=k^(1/y),c=k^(1/z);
abc=k(1/x)*k^(1/y)*k^(1/z)
=k^((1/x)+(1/y)+(1/z))
代入(1/x)+(1/y)+(1/z)=0，得
abc=1.

Answer 5

abc=1
设 a的x次方=b的y次方=c的z次方=m x=log a m 1/x=log m a
1/x+1/y+1/z=log m a +log m b +log m c =log m abc=0
故abc=1

Answer 6

1.a的x次方=b的y次方=c的z次方 这个式子取对数再取倒数，用含a,b,c表达1/x,1/y,1/z的关系，并带入1/x+1/y+1/z=0
可知ln(a)+ln(b)+ln(c)=0(我取的是自然对数），故abc=1
2.这个。。。只讨论a>1或a<1是不行的哦
对1/2<a<1也要讨论
不过我只会用求导（a^x的导数是x*a^x*ln(a)），方法不精巧，不好意思写了。。。