不定积分用凑微分法求解

Answer 1

∫ [e^(3√x)]/√x dx
= 2∫ e^(3√x)/(2√x) dx
= 2∫ e^(3√x) d(√x)
= (2/3)∫ e^(3√x) d(3√x)
= (2/3)∫ d[e^(3√x)]
= (2/3)e^(3√x) + C

追问

= (2/3)∫ e^(3√x) d(3√x) 从这步开始不懂阿。
= (2/3)∫ d[e^(3√x)]
= (2/3)e^(3√x) + C

能麻烦您解释下吗。

追答

d(√x) = d[(3√x)/3] = d(3√x)/3 = (1/3)d(3√x)，在d里可任意加减，但乘除的话
乘以一个常数，外面就要除以该个常数作抵消
e^(3√x) d(3√x)，如果把3√x当作一个整体，或当是u
则变为e^u du，将e^u积分后就变为d(e^u)，这个是微分法则
d(e^u) = (e^u)'du = (e^u)du
或积分：e^u du = d[∫ e^u du] = d(e^u + C) = d(e^u)

追问

就有一点还不是很明白。
d(√x) = d[(3√x)/3] = d(3√x)/3 = (1/3)d(3√x)
d里的3√x不要用微分公式化为:d（3√x）=d（3*x^1/2）=3/2x^-1/2 吗？
那前面第一次的 = 2∫ e^(3√x) d(√x) 需要把d（√x）化为：x^1/2dx 吗？

追答

是1/(2√x) dx = d(√x)，所以分母要凑个2√x
还有d(3√x) = [3 • (1/2)x^(1/2 - 1)] dx = [(3/2)x^(-1/2)] dx = 3/(2√x) dx 是微分过程
现在要做的是上面这个过程的逆过程，即由右边变为左边，实际上是积分过程
即∫ 3/(2√x) dx = 3√x + C
既然已经凑成d(√x)的形式，无需再弄个dx出来吧？那是逆流的
凑微分可以一步一步地凑，先凑好√x，然后再凑常数