多次方和公式是什么？ 比如 1^n+2^n+3^n+++++k^n(k,n均属于N*)

Question

不要证明，只要把常用的给我就行……
也就是六次方以下的
通用的也要
不要用 复制粘贴的方式敷衍我！！！

Answer 1

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

或者数学归纳法..或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6

证明，方法一：
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1.
∴n^3=(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4
∴左边=∑i^3=(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2
=(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)
=(1/4)(n^4+2n^3+n^2)
=[(1/2)n(n+1)]^2
=(1+2+3+…+n)^2
[附注:这里用了另一个公式∑i^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
证明如下:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴n^2=(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3
∴∑i^2=(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3=......=(1/6)n(n+1)(2n+1)]

方法二：数学归纳法
当n=1时，左边1^3=1， 右边1^2=1
左边=右边
假设当n=k时等式成立
1^3+2^3+3^3+…k^3=（1+2+3+............+k)^2
则当n=k+1时
1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3
=(1+2+3+............+k)^2+(k+1)^3 1+2+3....+k=k(k+1)/2 等差数列
=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3
=(1+k)^2(k^2/4+k+1)
=(1+k)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
=[(k+1)(k+1+1)/2]^2
=(1+2+3......+k+k+1)^2 1+2+3+...k+k+1=(k+1)(k+1+1)/2 也是等差数列
所以当n=k+1等式也成立
所以，1^3+2^3+3^3+........+n^3=（1+2+3+........+n)^2

(n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1
n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1
……
2^5-1^5=5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1
全加起来
(n+1)^5-1^5=5*(1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4)+10*(1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3)+10*(1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2)+5*(1+2+3+4+……+n)+n
因为1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2
所以1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4
={[(n+1)^5-1^5]-10*[n(n+1)/2]^2-10*n(n+1)(2n+1)/6-5*n(n+1)/2-n}/5
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30

追问

哦，这个我也看见过

追答

你都捡完了，还用问，自己搜吧

Answer 2

c(n,k)表示从n个数中取k个的组合数。

2^(n+1)=1+c(n+1,1)1^n+c(n+1,2)1^(n-1)+c(n+1,3)1^(n-2)+.....+c(n+1,n+1)
3^(n+1)=2^(n+1)+c(n+1,1)2^n+c(n+1,2)2^(n-1)+c(n+1,3)2^(n-2)+...+c(n+1,n+1)
..............
(n+1)^(n+1)=n^(n+1)+c(n+1,1)n^n+c(n+2,2)n^(n-1)+...+c(n+1,n+1)
上面n个式子相加
(n+1)^(n+1)=1+(n+1)(1^n+2^n+...+n^n)+c(n+2,2)(1^(n-1)+2^(n-1)+...+n^(n-1))+...+c(n+1,n)(1+2+3+...+n)+n
整理
1^n+2^n+...+n^n=(n+1)^n-1/(n+1)-(1/(n+1))(c(n+2,2)(1^(n-1)+2^(n-1)+..+n^(n-1))+...+c(n+1,n)(1+2+3+...+n)+n)
要想知道n次和就要知道n-1次和而1次和=1+2+...+n=n(1+n)/2
因此可递推2次，3次，直到n次
1^2+2^2+...+n^2=(1/6)n(n+1)(n+2)
1^3+2^3+...+n^3=(1/4)n^2(n+1)^2
1^5+2^5+..+n^5=(1/12)n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)
手都快断了还是慢了

追问

不好意思，你不是自己打得这个我见过

Answer 3

Answer 4

各阶的公式如下：
n=1：0.5n+0.5n^2
n=2：1/6n+0.5n^2+1/3n^3
n=3： 0.25n^2+0.5n^3+0.25n^4
n=4：-1/30n +1/3n^3+0.5n^4 +0.2n^5
n=5： -1/12n^2 +5/12n^4+0.5n^5+1/6n^6
n=6：1/42n -1/6n^3 +0.5n^5+0.5n^6+1/7n^7
n=7： 1/12n^2 -7/24n^4 +7/12n^6+0.5n^7+1/8n^8
n=8：-1/30n +2/9n^3 -7/15n^5 +2/3n^7+0.5n^8+1/9n^9

追问

阶乘的公式有什么用？

追答

阶乘是用来计算排列组合的，和本问题没有关系吧？

追问

我要的是多次方和公式，你给我阶乘的
我怎么用阶乘的公式，来求多次方和公式

追答

(a+b)^n是可以用阶乘来计算，多次方的和的公式用阶乘表示不大可能吧？
比如 n=1：1/2*n(n+1)，就不是阶乘。你是指用连乘的公式吧？

追问

额~~~~
你看看上面的人是怎么回答的吧。然后再回答我！
P.S.我这是最后一次追问，再追就要耗财富了

追答

1^n+2^n+3^n+++++k^n(k,n均属于N*)，多次方和公式。更新为连乘公式的：
n=1：1/2*k*(1+k)
n=2：1/6*k*(1+k)*(1+2*k)
n=3：1/4*k^2*(1+k)^2
n=4：1/30*k*(k+1)*(2*k+1)*(-1+3*k+3*k^2)
n=5：1/12*k^2*(k+1)^2*(-1+2*k+2*k^2)
n=6：1/42*k*(k+1)*(2*k+1)*(1-3*k+6*k^3+3*k^4)
n=7：1/24*k*k*(k+1)^2*(2-4*k-k^2+6*k^3+3*k^4)
n=8：1/90*k*(k+1)*(2*k+1)*(-3+9*k-k^2-15*k^3+5*k^4+15*k^5+5*k^6)