证明f(x)=x^2在[-无穷,+无穷]上非一致连续

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比较经典的证明和结论，直接用定义(http://baike.baidu.com/view/1645875.htm)：若定义在区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的连续函数f(x)，如果对于任意给定的正数ε>0，存在一个只与ε有关与x无关的实数ζ>0，使得对任意A上的x1,x2，只要x1,x2满足|x1-x2|<ζ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。解释一下，如果证明非一致连续，只要找到一组特定{ε,x1,x2}三个数，满足三个条件：
1. ε>0
2. x1,x2∈[-∞,+∞]
3. |x1-x2|<ζ, ζ为一任意正实数
如果|f(x1)-f(x2)|<ε恒不成立，那么f(x)=x^2非一致连续。

证法如下：
首先对任意正实数ζ>0，选取这样一组{ε=1,x1=1/ζ,x2=(ζ/2)+(1/ζ)}，这组数满足上述三个条件，其中|x1-x2|=|1/ζ-[(ζ/2)+(1/ζ)]|=ζ/2<ζ
现在来看，|f(x1)-f(x2)|=|[(1/ζ)^2]-{[(ζ/2)+(1/ζ)]^2}|=(ζ^2/4)+1>1=ε
所以，f(x)=x^2在[-∞,+∞]上非一致连续。
套在定义上，也就是说，给定的正数ε=1，对于任意ζ>0，总能找到{x1=1/ζ,x2=(ζ/2)+(1/ζ)}在[-∞,+∞]上，它们|x1-x2|<ζ，但|f(x1)-f(x2)|>ε

但是y=x^2在任意闭区间上是一致连续的：
对于任意给定的正数ε>0，当|f(x1)-f(x2)|=|x1^2-x2^2|=|(x1-x2)|*|(x1+x2)|<ε时，
因为x1,x2属于一个闭区间，所以对任意的x1,x2，|x1+x2|是有上限的(设|x1+x2|<α)，因此总能找到ζ=ε/α，使得只要x1,x2满足|x1-x2|<ζ，就有|f(x1)-f(x2)|=|(x1-x2)|*|(x1+x2)|<(ζ)*(α)=(ε/α)*(α)=ε
也就是说对任意给定的闭区间，y=x^2是一致连续的。
所以你可以看到，f(x)=x^2在[-∞,+∞]上非一致连续的原因就是因为|x1+x2|是无限大的，没有一个有限的实数ζ>0可以满足条件。

恩，说得有点儿冗长，见谅~~~

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