帮忙出一道关于数学复数的题目!跪求@!!

Question

麻烦出一道有关复数(数学竞赛)的竞赛题,要典型的,并且要有详细过程,要看是看不出怎么做,但告诉你了就能够明白的典型复数竞赛题目,谢谢大家额!!(好的话加到200分)

Answer 1

复数
复数就是实数和虚数的统称

16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1664—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，习的数学武子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i，而使用=一1）。法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

形如a＋bi的数 。式中 a，b 为实数 ，i是 一个满足i2＝－1的数 ，因为任何实数的平方不等于－1，所以 i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a 称为复数的实部，b称为复数的虚部 ， i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。复数的产生来自解代数方程的需要。16世纪，意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根，但公式中引用了负数开方的形式，并把 i＝sqrt(-1) 当作数，与其他数一起参与运算。由于人们无法理解 i的实质，所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数，而称之为虚数。直到19世纪，数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释，并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用，人们才认识了这种新的数。
复数的四则运算规定为：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，
（a＋bi）•（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，
（c与d不同时为零）。
复数有多种表示形式，常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式。
此外有下列形式。
①几何形式。复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式
z＝｜z｜（cosθ＋isinθ）
式中｜z｜= sqrt(a2+b2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指 数形式。将复数的三角形式 z＝｜ z ｜( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝｜z｜exp(iθ)
复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/10078.htm

Answer 2

题目：给定实数a，b，c，已知复数z1,z2,z3满足：
|z1|=|z2|=|z3|=1,
(z1/z2)+(z2/z3)+(z3/z1)=1.
求：|az1+bz2+cz3|的值。

解答：
设z1/z2=cosθ+isinθ,z2/z3=cosω+isinω,则
z3/z1=(z3/z2)/(z1/z2)=cos(-θ-ω)+isin(-θ-ω)=cos(θ+ω)-isin(θ+ω)。
由条件(z1/z2)+(z2/z3)+(z3/z1)=1，两边取虚部，得
0＝sinθ+sinω-sin(θ+ω)
=2sin[(θ+ω)/2]cos[(θ-ω)/2]-2sin[(θ+ω)/2]cos[(θ+ω)/2]
=2sin[(θ+ω)/2]{cos[(θ-ω)/2]-cos[(θ+ω)/2]}
=4sin[(θ+ω)/2]sin(θ/2)sin(ω/2).
∴θ=2kπ,或ω=2kπ,或θ+ω=2kπ,k∈Z.
因而，z1=z2,或z2=z3,或z3=z1。
若z1=z2,则(z1/z3)+(z3/z1)=0,(z3/z1)^2+1=0,
∴z3/z1=±i.
这时，|az1+bz2+cz3|＝|z1||a+b±ci|=√[(a+b)^2+c^2]；
类似地：
如果z2=z3,则|az1+bz2+cz3|＝|=√[(b+c)^2+a^2]；
如果z3=z1,则|az1+bz2+cz3|＝|=√[(c+a)^2+b^2].
∴|az1+bz2+cz3|的值为√[(a+b)^2+c^2]，或√[(b+c)^2+a^2]，或√[(c+a)^2+b^2].

Answer 3

z*z+(1-2i)z+(1+2i)z<=3 求z的模最小值

题目:(以z⌒表示z的共轭)
z*z⌒+(1-2i)z+(1+2i)z⌒<=3
即:|z|^2+z+z⌒+2iz-2iz⌒<=3
设z=a+bi,则z⌒=a-bi
上式为:

a^2+b^2+2a+2ai-2b-2ai-2b<=3
即:a^2+b^2+2a-4b<=3
(a+1)^2+(b-2)^2<=8
这是一个圆面的方程,包括边界,为到点(-1,2)的距离不大于2√2的点的集合
而题目要求的是a^2+b^2的最小值m
显然这样的点为圆(a+1)^2+(b-2)^2=8与圆a^2+b^2=m的交点.

可设a=(sinA-1)/2√2,b=(cosA+2)/2√2
则m=(sinA-1)^2/8+(cosA+2)^2/8
8m=6-2sinA+4cosA
4m=2-sinA+2cosA
m的最小

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已知复数z满足|z-2-√5 i|=2,求|z-1|^2+|z+1|^2的最值。

z-2-√5i=2cosx+2sinxi
z=(2cosx+2)+(2sinx+√5)i
z-1= (2cosx+1)+(2sinx+√5)i
z+1= (2cosx+3)+(2sinx+√5)i
|z-1|^2+|z+1|^2
=(2cosx+1)^2+(2cosx+3)^2+2(2sinx+√5)^2
=16cosx+8√5sinx+28
<=24+28=52
|z-1|^2+|z+1|^2的最值为52

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i+2(i)^2+3(i)^3+……+1999(i)^1999+2000(i)^2000+2001(i)^2001=？

i + 2(i)^2 + 3(i)^3 + …… + 1999(i)^1999 + 2000(i)^2000 + 2001(i)^2001
= (-2 + 4 - 6 + 8 .....+ 2000) + (1 - 3 + 5 - 7 + 9 ....+ 2001)*i
= 2*500 + (1 + 2*500)*i
= 1000 + 1001*i

Answer 4

求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上。

解:令公比为q ,可得：

a1(1+q+q^2+q^3+q^4)=(4/a1q^4)(1+q+q^2+q^3+q^4)

（1）若(1+q+q^2+q^3+q^4)=0，则|q|＝1,复数a1,a2,a3,a4,a5 都在单位圆上。

（2）若(1+q+q^2+q^3+q^4)不等于0 ，则a3=正负2，x=q+1/q 满足方程x^2+x+1=正负S/2,......
复数a1,a2,a3,a4,a5 都在半径为2的圆上。

Answer 5

a1(1+q+q^2+q^3+q^4)=(4/a1q^4)(1+q+q^2+q^3+q^4)

（1）若(1+q+q^2+q^3+q^4)=0，则|q|＝1,复数a1,a2,a3,a4,a5 都在单位圆上。

（2）若(1+q+q^2+q^3+q^4)不等于0 ，则a3=正负2，x=q+1/q 满足方程x^2+x+1=正负S/2,......
复数a1,a2,a3,a4,a5 都在半径为2的圆上。

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